a) Vì AH, CK vuông góc với BD (gt) Suy ra AH // CK Vì ABCD  là hình bình hành (gt) Suy ra AD=BC; AD // BC Xét  tam giác ADH và tam giác CBK ta có: Góc AHD=góc CKB=90∘ (gt) AD=BC (cmt) Góc ADH= góc CBK (vì AD// BC) Suy ra  tam giác ADH=tam giác CBK (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra AH=CKAH=CK (hai cạnh tương ứng) Mà AH// CK(cmt) Suy ra AHCK là hình bình hành b) Vì AHCK  là hình bình hành nên hai đường chéo HK  và AC  cắt nhau tại trung điểm. Mà II là trung điểm của HK Suy ra II là trung điểm của AC. Ta có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm.  Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF =FC Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Ta có: O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD. Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra GM=GB/2; GN= GC/2(tính chất trọng tâm của tam giác) (1).

Mà Ở là trung điểm của GB ( gt) nên GP=PB= GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ=QC. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM =GP và GN= GQ

Xét tứ giác PQMN có GM=GP và GN= GQ(cmt)

Suy ra tứ giác PQMN có hai đường chéo MPvà NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (cmt) .

Suy ra,tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF nên suy ra , O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC;OB=OD.

AB//CD nên AM//CN suy ra góc OAM= góc OCN (2 góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN, có:

Góc OAM= góc OCN ( cmt)

Oa = OC (cmt)

Góc AOM= góc CON( 2 góc đối

đỉnh)

Do đó tam giác OAM= tam giác OCN ( g.c.g)

Suy ra AM=CN( 2 cạnh tương ứng)

Suy ra BN=DN

Xét tứ giác MBND, có:

BM//DN( vì AB//CD)

BM=DN(cmt)

Suy ra, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD; AB=CD

Từ đó AE//CF;AE=EB=DF=FC

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD=EF

Vì AECF là hình bình hành nên AF= EC