A)Chứng minh: Vì ABCD là hình bình hành, nên: AD \parallel BC và AD = BC Vì E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, nên: AE = \frac{1}{2}AD và CF = \frac{1}{2}BC Suy ra: AE = CF Vì AD \parallel BC, nên ED \parallel BF Vì AE = CF, nên ED = BF Tứ giác EBFD có các cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, vậy EBFD là hình bình hành.

B)Chứng minh: Vì ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của AC và BD. Xét tam giác ADC, ta có: E là trung điểm của AD, O là trung điểm của AC. Vậy EO là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra: EO \parallel DC và EO = \frac{1}{2}DC Vì F là trung điểm của BC và ABCD là hình bình hành, nên: BF \parallel DC và BF = \frac{1}{2}DC Suy ra: EO \parallel BF và EO = BF Vậy tứ giác EOBF là hình bình hành, suy ra EO và OF cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

A) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. Chứng minh: Vì ABCD là hình bình hành nên \angle ADB = \angle CBD (so le trong). Xét tam giác AHD và tam giác CKB, ta có: \begin{aligned} & \angle AHD = \angle CKB = 90^\circ \\ & AD = BC \text{ (tính chất hình bình hành)} \\ & \angle ADH = \angle CBK \text{ (chứng minh trên)} \end{aligned} Vậy \triangle AHD = \triangle CKB (cạnh huyền - góc nhọn). Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng). Lại có AH \perp BD và CK \perp BD nên AH // CK. Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (đpcm). b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID. Chứng minh: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD. Vì AHCK là hình bình hành nên I là trung điểm của AC. Vậy O và I cùng là trung điểm của AC, suy ra O trùng với I. Do đó, I là trung điểm của BD. Vậy IB = ID (đpcm).

Xét tam giác GBC: Theo giả thiết, P là trung điểm của đoạn thẳng GB. Theo giả thiết, Q là trung điểm của đoạn thẳng GC. Áp dụng định lý về đường trung bình trong tam giác GBC, ta có đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác này. Do đó, PQ song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC: PQ \parallel BC \quad (1) PQ = \frac{1}{2} BC \quad (2) Xét tam giác ABC: Theo giả thiết, BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của cạnh AC. Theo giả thiết, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên N là trung điểm của cạnh AB. Áp dụng định lý về đường trung bình trong tam giác ABC, ta có đoạn thẳng MN là đường trung bình của tam giác này. Do đó, MN song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC: MN \parallel BC \quad (3) MN = \frac{1}{2} BC \quad (4) Kết luận: Từ các kết quả (1), (3), ta suy ra PQ và MN cùng song song với BC, do đó PQ song song với MN: PQ \parallel MN Từ các kết quả (2), (4), ta suy ra PQ và MN cùng có độ dài bằng \frac{1}{2} BC, do đó PQ bằng MN: PQ = MN Tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối là PQ và MN vừa song song với nhau, vừa bằng nhau. Vậy, tứ giác PQMN là hình bình hành.

a) Chứng minh △OAM = △OCN: Vì ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của AC (tính chất hai đường chéo của hình bình hành). Suy ra: OA = OC. Góc \angle OAM = \angle OCN (do AB // CD, hai góc so le trong). Góc \angle AOM = \angle CON (hai góc đối đỉnh). Vậy, △OAM = △OCN (g.c.g). b) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành: Từ △OAM = △OCN, ta có: AM = CN. Ta có: MB = AB - AM và ND = CD - CN. Mà AB = CD (tính chất hình bình hành) và AM = CN (chứng minh trên). Suy ra: MB = ND. MB // ND (do AB // CD). Vậy, tứ giác MBND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = \frac{1}{2}AB và CF = \frac{1}{2}CD. Suy ra AE = CF. Tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF nên AECF là hình bình hành. Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = \frac{1}{2}AB và DF = \frac{1}{2}CD. Suy ra AE = DF. Tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF nên AEFD là hình bình hành. b) Chứng minh EF = AD, AF = EC: Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh trên) nên EF = AD. Vì AECF là hình bình hành (chứng minh trên) nên AF = EC.