đẳng thức véctơ MK = NI là sai

• Vẽ đường kính  BK𝐵𝐾 của đường tròn  (O)(𝑂).
• AKCD𝐴𝐾𝐶𝐷 là hình thang vuông tại  A𝐴 và  C𝐶.
• Vì  H𝐻 là trực tâm,  BH⟂AC𝐵𝐻⟂𝐴𝐶. Vì  BK𝐵𝐾 là đường kính,  CK⟂BC𝐶𝐾⟂𝐵𝐶. Do đó  AH∥CK𝐴𝐻∥𝐶𝐾.
• CH⟂AB𝐶𝐻⟂𝐴𝐵.  BK𝐵𝐾 là đường kính nên  AK⟂AB𝐴𝐾⟂𝐴𝐵. Do đó  CH∥AK𝐶𝐻∥𝐴𝐾.
• Vậy  AHCK𝐴𝐻𝐶𝐾 là hình bình hành. Suy ra  AH=CK𝐴𝐻=𝐶𝐾.
• Xét  △ABH△𝐴𝐵𝐻 và  △KDC△𝐾𝐷𝐶:
• • ∠AHB=∠KCD=90∘∠𝐴𝐻𝐵=∠𝐾𝐶𝐷=90∘ (do  BH⟂AC𝐵𝐻⟂𝐴𝐶và  CD⟂AC𝐶𝐷⟂𝐴𝐶). 
  • ∠ABH=∠KDC∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐾𝐷𝐶 (cùng chắn cung  AC𝐴𝐶). 
  • AB=KD𝐴𝐵=𝐾𝐷 (bán kính của đường tròn  (O)(𝑂)). 
• Vậy  △ABH=△KDC△𝐴𝐵𝐻=△𝐾𝐷𝐶 (cạnh huyền - góc nhọn). 
• Suy ra  BH=CD𝐵𝐻=𝐶𝐷.

đẳng thức véctơ AH và véctơ B’C đã được chứng minh

đã chứng minh được véctơ AM= NC cà vex véctơ DK = NI

ta có thể chứng minh véctơ EF= véctơ CD bằng cach sử dụng quy tắc véctơ chun điểm

Vì e và F là chung diem của ca và ab ta có véctơ EF= véctơ AF–véctơ AE= 1/2 véctơ ab–1/2 véctơ AC =1/2( véctơ AB – véctơ AC)1/2 véctơ CB

vì d là chung điểm của BCta có

véctơ CD= véctơDB– véctơ CB= 1/2 véctơ BC – véctơ BC = –1/2 BC= 1/2 CB

do đó véctơ EF= véctơ CD

các véctơ bang nhau nhận đỉnh hoặc tâm của hình vuông là điểm đầu va điểm cuối