Gọi x là số đo cung nhỏ AB (x > 0)

Số đo cung lớn AB là 2x

Ta có:

x + 2x = 360⁰

3x = 360⁰

x = 360⁰ : 3

x = 120⁰

⇒ ∠AOB = 120⁰

∆AOB có:

OA = OB = R

⇒ ∆AOB cân tại O

⇒ ∠OAB = ∠OBA = (180⁰ - ∠AOB) : 2

= (180⁰ - 120⁰) : 2

= 30⁰

Ta có hình vẽ sau:

Vẽ đường cao OH của ∆OAB

⇒ ∆OAH vuông tại H

⇒ cosOAH = AH : OA

⇒ AH = OA.cosOAH

= R.cos30⁰

Do OH ⊥ AB

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ AB = 2AH

a) Gọi x là số đo cung nhỏ AB (x > 0)

Số đo cung lớn AB là 3x

Ta có:

x + 3x = 360⁰

4x = 360⁰

x = 360⁰ : 4

x = 90⁰

Vậy số đo cung nhỏ AB là 90⁰

Số đo cung lớn AB là 3.90⁰ = 270⁰

b)

Do số đo cung nhỏ AB là 90⁰ (cmt)

⇒ ∠AOB = 90⁰

⇒ ∆AOB vuông tại O

Do OH là khoảng cách từ O đến AB

⇒ OH ⊥ AB

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của ∆AOB vuông tại O

⇒ OH = AB : 2

2cm

Ta có: \(\hat{A B C} = 9 0^{0}\)

=>B nằm trên đường tròn đường kính AC(1)

Ta có: \(\hat{A D C} = 9 0^{0}\)

=>D nằm trên đường tròn đường kính AC(2)

Từ (1),(2) suy ra B,D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC

=>A,B,C,D cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính AC

Xét (O) có

AC là đường kính

BD là dây

Do đó: BD<AC

Xét tứ giác BC'B'C có \(\hat{B C^{'} C} = \hat{B B^{'} C} = 9 0^{0}\)

nên BC'B'C là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>BC'B'C là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC

Xét (O) có

BC là đường kính

B'C' là dây

Do đó: B'C'<BC

Gọi OH là khoảng cách từ O đến dây MN

=>OH\(\bot\)MN tại H

ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

=>\(H M = H N = \frac{R}{2}\)

ΔOHM vuông tại H

=>\(O H^{2} + H M^{2} = O M^{2}\)

=>\(O H^{2} = R^{2} - \left(\left(\right. \frac{R}{2} \left.\right)\right)^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)

=>\(O H = \sqrt{\frac{3 R^{2}}{4}} = \frac{R \sqrt{3}}{2}\)

=>Khoảng cách từ O đến dây MN là \(\frac{R \sqrt{3}}{2}\)

Gọi giao điểm của MN với OA là H

Vì MN\(\bot\)OA tại trung điểm của OA

nên MN\(\bot\)OA tại H và H là trung điểm của OA

Xét ΔOMA có 

MH là đường cao

MH là đường trung tuyến

Do đó: ΔOMA cân tại M

=>MO=MA

mà OM=OA

nên OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

=>\(\hat{M O A} = 6 0^{0}\)

Xét ΔMHO vuông tại H có \(s i n M O H = \frac{M H}{M O}\)

=>\(\frac{M H}{10} = s i n 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(M H = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)

ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

=>\(M N = 2 \cdot M H = 2 \cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)