a) Vì \(B M\), \(C N\) là các đường trung tuyến của \(\Delta A B C\) nên \(M A = M C\), \(N A = N B\).

Do đó \(M N\) là đường trung bình của \(\Delta \&\text{nbsp}; A B C\), suy ra \(M N\) // \(B C\). (1)

Ta có \(D E\) là đường trung bình của \(\Delta \&\text{nbsp}; G B C\) nên \(D E\) // \(B C\).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M N\) // \(D E\).

b) Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; A B G\), ta có \(N D\) là đường trung bình.

Xét \(\Delta ACG\), ta có \(M E\) là đường trung bình.

Do đó \(N D\) // \(A G\), \(M E\) // \(A G\).

Suy ra \(N D\) // \(M E\).

a) Qua \(D\) vẽ một đường thẳng song song với \(B M\) cắt \(A C\) tại \(N\).

\(Xét\Delta MBC\) có \(D B = D C\) và \(D N\) // \(B M\) nên \(M N = N C = \frac{1}{2} M C\) (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác \(A M = \frac{1}{2} M C\), do đó \(A M = M N = \frac{1}{2} M C\).

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; A N D\) có \(A M = M N\) và \(B M\) // \(D N\) nên \(O A = O D\) hay \(O\) là trung điểm của \(A D\).

b) Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; A N D\) có \(O M\) là đường trung bình nên \(O M = \frac{1}{2} D N\). (1)

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; M B C\) có \(D N\) là đường trung bình nên \(D N = \frac{1}{2} B M\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O M = \frac{1}{4} B M\).

a) Kẻ \(M N\) // \(B D\), \(N \in A C\).

\(M N\) là đường trung bình trong \(\triangle C B D\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(C D\) (1).

\(I N\) là đường trung bình trong \(\triangle A M N\)

Suy ra \(D\) là trung điểm của \(A N\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(A D = \frac{1}{2} D C\).

b) Có \(I D = \frac{1}{2} M N\); \(M N = \frac{1}{2} B D\), nên \(B D = I D\).

Xét \(\Delta B E D\) có \(\left{\right. & M I // E D \\ & M E = B M\) suy ra \(I D = I B\).

Xét \(\Delta C E D\) có \(\left{\right. & N K // E D \\ & N C = N D\) suy ra \(K E = K C\).

Suy ra \(M I = \frac{1}{2} E D\); \(N K = \frac{1}{2} E D\); \(E D = \frac{1}{2} B C\).

\(I K = M K - M I = \frac{1}{2} B C - \frac{1}{2} D E = D E - \frac{1}{2} D E = \frac{1}{2} D E\).

Vậy \(M I = I K = K N\).

a) Chứng minh \(M N P Q\) là hình bình hành

Ta có \(A B C D\) là hình bình hành
⟹ \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\).

Đường thẳng \(m\) cắt \(A B , C D\) lần lượt tại \(M , P\)
⟹ \(M , P\) nằm trên hai cạnh song song \(A B , C D\).
⟹ \(M P \parallel A B \parallel C D .\)

Tương tự, đường thẳng \(n\) cắt \(A D , B C\) lần lượt tại \(Q , N\)
⟹ \(Q , N\) nằm trên hai cạnh song song \(A D , B C\).
⟹ \(Q N \parallel A D \parallel B C .\)

Vì \(M P \parallel Q N\) và \(M Q \parallel P N\),
⟹ tứ giác \(M N P Q\) có hai cặp cạnh đối song song.

⇒ \(M N P Q\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(M N P Q\) là hình thoi

Ta có \(O\) là giao điểm của \(M P\) và \(N Q\).
Theo giả thiết: \(n \bot m\) tại \(O\).
⟹ \(N Q \bot M P .\)

Trong hình bình hành, nếu hai đường chéo vuông góc với nhau,
thì hình đó là hình thoi.

⟹ \(M N P Q\) là hình thoi.

a) Vì \(M , N\) là trung điểm của \(A B\) và \(C D\), theo tính chất hình bình hành thì \(M N \parallel B D\).

Hình bình hành có \(A D \bot A C\) ⇒ góc giữa \(A D\) và \(A C\) là \(90^{\circ}\).

Do \(B D\) là đường chéo nối hai đỉnh đối, nên \(B D\) cũng vuông góc với \(A C\).

Vì \(M N \parallel B D\) và \(B D \bot A C\) nên \(M N \bot A C\).

b) Tứ giác \(A M C N\) có:

• \(M , N\) là trung điểm của \(A B\), \(C D\),
• \(A , C\) là hai đỉnh đối của hình bình hành,
• \(M N \parallel B D\),
• \(M N \bot A C\),

Nên \(A M C N\) là hình chữ nhật.

a)Ta có:

• \(A B C D\) là hình bình hành ⟹ \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\).
• \(m\) cắt \(A B , C D\) tại \(M , P\) nên \(M , P\) nằm trên hai đường thẳng song song.
  ⇒ \(M P \parallel A B \parallel C D\).
• \(n\) cắt \(A D , B C\) tại \(Q , N\) nên \(Q , N\) nằm trên hai đường thẳng song song.
  ⇒ \(Q N \parallel A D \parallel B C\).

Vì \(M P \parallel Q N\) và \(M Q \parallel P N\) (do cùng song song với các cạnh của hình bình hành \(A B C D\)),
⇒ tứ giác \(M N P Q\) có hai cặp cạnh đối song song.

⟹ \(M N P Q\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(M N P Q\) là hình thoi

Ta có:

• Đường thẳng \(n \bot m\) tại \(O\).
• \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(M N P Q\).

Trong hình bình hành, nếu hai đường chéo vuông góc với nhau thì hình đó là hình thoi.

⟹ \(M N P Q\) là hình thoi.