Vì \(B D , C E\) là các đường trung tuyến nên chúng cắt nhau tại trọng tâm \(G\).

\(M , N\) lần lượt là trung điểm của \(B E , C D\) nên \(M N\) đi qua \(G\).

Trong tam giác \(B G E\), \(M\) là trung điểm của \(B E\) nên \(M G\) là đường trung tuyến.
Do đó \(I\) là trung điểm của \(M G\).

Tương tự, trong tam giác \(C G D\), \(N\) là trung điểm của \(C D\) nên \(K G\) là đường trung tuyến, suy ra \(K\) là trung điểm của \(G N\).

Vì \(G\) là trung điểm của \(I K\) nên ba đoạn \(M I , I K , K N\) bằng nhau.

\(\boxed{M I = I K = K N}\)

a) Xét ΔABC có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của Δ���(��)ΔABC) 

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của Δ���(��)ΔABC)

⇒��⇒MN là đường trung bình của Δ���ΔABC ( DHNB đường trung bình) 

⇒��⇒MN // ��BC ( t/ch ĐTB)  (1)

Δ���ΔABC có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

⇒��⇒DE là đường trung bình của Δ���ΔGBC ( DHNB đường trung bình)

⇒��⇒DE // ��BC  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒��⇒MN // ��DE ( cùng // BC) 

b) 

b) Do MN là đường trung bình của Δ���(���)ΔABC(cmt)

⇒��=��2⇒MN= 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của Δ���(���)ΔGBC(cmt)

a)

Vì \(A D\) là trung tuyến nên \(D\) là trung điểm của \(B C\).
Lại có \(A M = \frac{1}{2} M C\).
Suy ra \(B M\) cắt \(A D\) tại \(O\) sao cho \(A O = O D\).
⇒ \(O\) là trung điểm của \(A D\).

b)

Vì \(O\) là trung điểm của \(A D\) nên

\(O M = \frac{1}{4} B M .\)

  a) Kẻ ��MN // ��BD, �∈��N∈AC.

��Có:MN là đường trung bình của △���△CBD

=> �N là trung điểm của ��CD (1).

��Lại có:IN là đường trung bình của △���△AMN

=> �D là trung điểm của ��AN (2).

         Từ 1 và 2  => ��=12��AD=
​  DC.

b) Có: ��=12��ID=
​MN; ��=12��MN=21​BD

     => ��=��BD=ID.