a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a) Ta có TG ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có :

BF//ED ( BC//AD )

    BF=ED ( cmt )

Suy ra : tG EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét tg ABG có

NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tg ABG

\(\Rightarrow P N = \frac{1}{2} A G\) (1)

=> PN//AG (2)

Xét tg ACG có

MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tg ACG

\(\Rightarrow Q M = \frac{1}{2} A G\) (3)

=> QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow P N = Q M = \frac{1}{2} A G\)

=> PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

VẬY AE AF DE BĂNGF NHAU

Xét tg OAM và tg OCN có

\(\hat{B A C} = \hat{A C D}\) (góc so le trong)

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\hat{A O M} = \hat{C O N}\) (góc đối đỉnh)

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

Ta có

AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)

Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

vì AFED là hình bình hành nên

AB \\CD ; AD\\BC

VÌ E là trung điểm AB ;F là trung điểm DC

=)EF Là đoạn nốitrung điểm

⇒EF Là của hai cạnh đối AB và CD.
Vì AB\\cd SUY RA Af\\ab\\CD

• Ta có \(AD\vert\vert CD\), mà \(E F \parallel A B\), suy ra \(E F \parallel A D\).

→ Hai cạnh EF và AD song

Mặt khác:

• \(AE\ni AB\), \(FD\ni CD\), mà \(A B \parallel C D\)
  ⇒ \(A E \parallel F D\).

xét tứ giác aefd có

AE\\FD

AD\\EF

SUY RA TỨ GIẮC AEFD là hình ình hành

Ta có:

• E là trung điểm của AB
• F là trung điểm của CD
• Trong hình bình hành ABCD: \(A D \parallel B C\)

⇒ đoạn nối trung điiemr của e ;f của 2 cạnh AB;CD \\ AD;BC
→ \(E F \parallel A D \parallel B C\)

Xét tứ giác aeFC

• \(AE\ni AB\), \(CF\in CD\), mà \(A B \parallel C D\)
  ⇒ \(A E \parallel C F\)

Trong hình bình hành ABCD, đường chéoAC nối hai đỉnh đối.
Ta xét hai điểm E (trên AB) và F (trên CD) sao cho E, F là trung điểm.
Khi đó, đoạn nối hai trung điểm E và F trong hai cạnh đối SONG SONG ỚI ĐƯỜNG CHÉO AC (tính chất hình bình hành).

→ \(E F \parallel A C\)

⟹ Tứ giác \(A E C F\) có \(A E \parallel C F\) và \(E F \parallel A C\).

⇒ AECF là hình ình hành

b) vì aefd là hình ình hành suy ra

EF∥AD

\(E F = A D\) (hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau)

⟹ \(E F = A D .\)

Tương tự, trong hình bình hành AEFC

\(A F \parallel E C\)

\(A F = E C\)

⟹ \(A F = E C .\)

\(\)