Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\).

Xét \(\Delta A B C\) có \(B M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(A C\) mà \(B M = \frac{1}{2} A C\) suy ra \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\).

Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{A} = \hat{D} = \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A B C D\) là hình chữ nhật. 

Ta có \(I A = I C\) và \(I H = I D\) ( hình vẽ )

Suy  ra \(A H C D\) là hình bình hành do có hai đường chéo \(A C\) và \(D H\) cắt nhau tại trung điểm \(I\).

Mà \(\hat{A H C} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(A H C D\) là hình chữ nhật.

a) do ABDC là hình bình hành nên AD// BC và AD=BC

Do AD//BC nên góc ADB = góc CBD ( 2 góc sole trong )

xét tam giác ADH và tam giác CBK có

góc AHD= góc CKB = 90°

AD=BC (cmt)

góc ADH= góc CBK ( vì góc ADB= góc CBD)

suy ra tam giác ADH = tam giác CBK ( cạnh huyền - góc nhọn )

suy ra AH=CK ( 2 cạnh tương ứng)

ta có: AH vuông góc DB, CK vuông góc DB nên AH vuông góc với CK

Xét tứ giác AHCK có

AH//CK (cmt)

AH=CK (cmt)

suy ra AHCK là hình bình hành (dhnb)

b) do AHCK là hình bình hành (cmt)

nên 2 đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà I là trung điểm của HK (gt) nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà I là trung điểm AC nên I là trung điểm của BD hay IB=ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=ED

F là trung điểm của BC nên BF=FC

suy ra DE=BF

Xét tứ giác EBFD có

DE//BF do (AD//BC)

DE=BF (cmt)

suy ra EBFD là hình bình hành (dhnb)

b) ta có: O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD

Do EBFD là hình bình hành (cmt)

nên 2 đường chéo BD, EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

Vậy 3 điểm E, O, F thẳng hàng

xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G (gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

suy ra GM= ½ GB; GN= ½ GC ( t/c trọng tâm của tam giác) (1)

mà P là trung điểm của GB ( gt)

nên GP=PB=½ GB (2)

Q là trung điểm của GC ( gt)

nên GQ= QC= ½ GC (3)

từ (1), (2), (3) suy ra GM= GP; GN= GQ

Xét tứ giác PQMN có:

GM=GP (cmt)

GN=GQ (cmt)

suy ra PQMN có 2 dường chéo MP, NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a) vì ABCD là hình bình hành suy ra: AB=CD, AB//CF

Mà 2 điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF

Suy ra AE=DF; AB=BE=CD=CF

xét tứ giác AEFD có:

AE//DF (vì AB//CD)

AE=DF (cmt)

suy ra AEFD là hình bình hành

xét tứ giác ABFC có:

AB//CF ( vì AB//CD)

AB=CF ( cmt)

suy ra ABFC là hình bình hành

b) vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF, DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O

hình bình hành ABFC có 2 đường chéo AF, BC

Suy ra O cũng là trung điểm của BC

vậy trung điểm của 3 đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

gt: ABCD là hình bình hành

AC cắt BD tại O (OA=OC,OD=OB)

MN đi qua O và cắt AB, CD lần lượt tại M, N

KL: tam giác OAM= tam giác OCN

MBND là hình bình hành

+) vì ABCD là hình bình hành (gt)

suy ra: AB//CD, AD//BC (t/c)

+) vì AB//CD (cmt)

suy ra: góc BAC= góc ACD ( 2 góc sole trong)

+) xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

góc OAM= góc OCN ( vì góc BAC= góc ACD)

OA=OC (gt)

góc AOM= góc CON ( 2 góc đối đỉnh)

suy ra tam giác OAM= tam giác OCN ( g.c.g )

suy ra OM=ON (2 cạnh tương ứng)

+) xét tứ giác MBND có:

OM=ON (cmt)

OB=OD (gt)

suy ra tứ giác MBND là hình bình hành

gt: ABCD là hình bình hành

E thuộc AB ( AE= BE )

F thuộc CD ( FC= FD )

KL: a) AEFD, AECF là hình bình hành

b) EF= AD, AF= EC

a) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

suy ra: AB // CD; AD // BC (t/c)

AB= CD: AD= BC (t/c)

ta có: AB // CD (cmt)

mà E thuộc AB, F thuộc CD (gt)

suy ra AE // FD, AE // FC

ta có: AB=CD (cmt)

mà E thuộc AB (EA=EB)

F thuộc CD (FC=FD)

suy ra: AE= BE=FC=FD

Xét tứ giác AEFD có:

AE // FD (cmt)

AE=FD (cmt)

suy ra AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có:

AE//FC (cmt)

AE=FC (cmt)

suy ra AECF là hình bình hành

b) vì AEFD là hình bình hành (cmt)

suy ra: EF=AD (t/c)

Vì AECF là hình bình hành (cmt)

suy ra: AF=EC (t/c)