Gọi số gà cần bổ sung là \(x\) (con) (\(x \in \mathbb{N}\))

Tổng số gà sau khi bổ sung: \(100 + x\) (con)

Sản lượng trung bình mỗi con: \(250 - 2 x\) (quả)

Tổng số trứng: \(\left(\right. 100 + x \left.\right) \left(\right. 250 - 2 x \left.\right)\) (quả)

Doanh thu: \(R \left(\right. x \left.\right) = 3 000. \left(\right. 100 + x \left.\right) \left(\right. 250 - 2 x \left.\right)\) (đồng)

Ta có:

\(T \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 100 + x \left.\right) \left(\right. 250 - 2 x \left.\right)\)

\(= - 2 x^{2} + 50 x + 25 000\)

\(= - 2 \left(\right. x - \frac{25}{2} \left.\right)^{2} + 25 312 , 5\)

Để doanh thu \(R \left(\right. x \left.\right)\) lớn nhất thì \(T \left(\right. x \left.\right)\) phải đạt giá trị lớn nhất.

Để \(T \left(\right. x \left.\right)\) phải đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\left(\right. x - \frac{25}{2} \left.\right)^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(x\) là số tự nhiên, \(x\) nhỏ nhất.

Suy ra tìm được \(x = 12.\)

Vậy số gà ít nhất cần bổ sung để đạt doanh thu cao nhất là \(12\) con.

Vậy doanh thu tối đa là: \(R \left(\right. 12 \left.\right) = 3 000. \left(\right. 100 + 12 \left.\right) \left(\right. 250 - 2.12 \left.\right) = 75 936 000\) đồng.

Thể tích khối \(\left(\right. H_{1} \left.\right)\) là \(V_{1} = \pi . r_{1}^{2} . h_{1}\)

Thể tích khối \(\left(\right. H_{2} \left.\right)\) là \(V_{2} = \pi . r_{2}^{2} . h_{2} = \pi . \frac{1}{4} . r_{1}^{2} . 2. h_{1} = \frac{1}{2} . \pi . r_{1}^{2} . h_{1} = \frac{1}{2} V_{1}\)

Mà \(V_{1} + V_{2} = 30\)

\(V_{1} + \frac{1}{2} V_{1} = 30\)

\(V_{1} = 20\) (cm³).

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(H B\)

Suy ra \(H I = I B = \frac{H B}{2}\)

Xét nửa đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), đường kính \(A B\) có: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\Delta C H B\) vuông, mà \(C I\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(I C = I H = I B = \frac{H B}{2}\) (1)

Vì \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A B\) nên \(\hat{H K B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta K H B\) vuông, mà \(K I\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(I K = I H = I B = \frac{H B}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(I C = I K = I H = I B\).

Vậy bốn điểm \(C\), \(B\), \(H\), \(K\) cùng thuộc một đường tròn.

Đổi \(30\) phút \(= \frac{1}{2}\) giờ;

Ca nô đi hết \(10\) giờ \(36\) phút  - \(6\) giờ \(30\) phút = \(4\) giờ \(6\) phút \(= \frac{41}{10}\) giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (đơn vị: km/h) \(\left(\right. x > 3 \left.\right)\)
Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là \(x + 3\) (km/h)

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là \(x - 3\) (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là \(\frac{48}{x + 3}\) (h)

Thời gian ca nô đi ngược dòng là \(\frac{48}{x - 3}\) (h)
Theo đề bài ta có phương trình \(\frac{48}{x + 3} + \frac{1}{2} + \frac{48}{x - 3} = \frac{41}{10}\)

\(\frac{48}{x + 3} + \frac{48}{x - 3} = \frac{18}{5}\)

\(\frac{48 \left(\right. x - 3 \left.\right) + 48 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{18}{5}\)

\(\frac{96 x}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{18}{5}\)

\(3 x^{2} - 80 x - 27 = 0\)

\(x = \frac{- 1}{3}\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = 27\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là \(27\) km/h.

Xét phương trình \(x^{2} - \left(\right. m - 2 \left.\right) x - 3 = 0\).

Ta có: \(\Delta = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} + 4.3 > 0\) với mọi \(m\).

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\), \(x_{2}\) với mọi \(m\).

Theo bài ra ta có:

\(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} - x_{1} + \left(\right. m - 3 \left.\right) x_{2} + 3 = \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} + x_{2}^{2}\)

\(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} - \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} = x_{2}^{2} - \left(\right. m - 2 \left.\right) x_{2} - 3 + x_{1} + x_{2}\)

\(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} - \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} = x_{1} + x_{2}\) (1)

Do \(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} \neq 0\) với mọi \(x_{1} ; x_{2}\), nên nhân cả 2 vế của (1) với \(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025}\) ta được:

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. \sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} \left.\right)\)

\(x_{1} + x_{2} = 0\) hoặc \(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} = x_{1} - x_{2}\)

+) Với \(x_{1} + x_{2} = 0\) suy ra \(m - 2 = 0\) hay \(m = 2\).

+) Với \(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} + \sqrt{x_{2}^{2} + 2 025} = x_{1} - x_{2}\) (2). Cộng vế với vế (1) và (2), ta được: \(\sqrt{x_{1}^{2} + 2 025} = x_{1}\). Phương trình vô nghiệm.

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a) Tần số của nhóm \(\left[\right. 6 ; 8 \left.\right)\) là \(18\).

Tần số tương đối của của nhóm \(\left[\right. 6 ; 8 \left.\right)\): \(\frac{18.100}{40} \% = 45 \%\).

b) Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left{\right. 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 15 \left.\right}\).

Vậy không gian mẫu có \(15\) phần tử hay \(n \left(\right. \Omega \left.\right) = 15\).

Các quả bi ghi số nguyên tố là \(\left{\right. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 \left.\right}\) nên số các kết quả thuận lợi của biến cố \(M\) là \(n \left(\right. M \left.\right) = 6\).

Vậy xác xuất của biến cố \(M\) là \(P \left(\right. M \left.\right) = \frac{n \left(\right. M \left.\right)}{n \left(\right. \Omega \left.\right)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\).

Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A C} = \frac{B C}{A B} = \frac{2}{2 , 5} = 0 , 8\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(\hat{B A C} \approx 38 , 7^{\circ}\)

Ta có: \(\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 38 , 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58 , 7^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B D\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A D} = \frac{B D}{A B}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(B D = A B . tan ⁡ \hat{B A D} = 2 , 5. tan ⁡ 58 , 7^{\circ} \approx 4 , 1\) m.

\(C D = B D - B C = 4 , 1 - 2 = 2 , 1\) m.

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là \(2 , 1\) m.

1)  \(sin ⁡ 3 5^{\circ} = cos ⁡ \left(\right. 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} \left.\right) = cos ⁡ \&\text{nbsp}; 5 5^{\circ}\);

\(tan ⁡ 2 8^{\circ} = cot ⁡ \left(\right. 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} \left.\right) = cot ⁡ 6 2^{\circ}\).

2) Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

\(B C = 20\)

\(cos ⁡ \hat{B} = \frac{A B}{B C} = \frac{A B}{20} = cos ⁡ 3 6^{\circ}\)

Suy ra \(A B = B C . cos ⁡ 3 6^{\circ} \approx 16 , 18\) cm.

Gọi tốc độ của xe máy lúc về là \(x\) (km/h), \(x > 0\)

Tốc độ của xe máy lúc đi là: \(x + 10\) (km/h)

Thời gian của xe máy lúc đi là \(\frac{60}{x + 10}\) (h)

Thời gian của xe máy lúc về là \(\frac{60}{x}\) (h)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{120 x + 1200}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)} - \frac{120 x}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)} = \frac{x \left(\right. x + 10 \left.\right)}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)}\)

\(120 x + 1200 - 120 x = x \left(\right. x + 10 \left.\right)\)

\(x^{2} + 10 x = 1 200\)

\(x^{2} + 10 x + 25 = 1 225\)

\(\left(\left(\right. x + 5 \left.\right)\right)^{2} = 1 225\)

\(\left[\right. & x + 5 = 35 \\ & x + 5 = - 35\)

\(\left[\right. & x = 30 \\ & x = - 40\)

Đối chiếu điều kiện, ta có: \(x = 30\) thỏa mãn.

Vậy tốc độ của xe máy lúc về là \(30\) km/h.

a) Điều kiện xác định: \(x \neq - 5\)

Ta có: \(\frac{x + 6}{x + 5} + \frac{3}{2} = 2\)

\(\frac{x + 6}{x + 5} = \frac{1}{2}\)

\(2 \left(\right. x + 6 \left.\right) = x + 5\)

\(2 x + 12 = x + 5\)

\(x = - 7\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 7\).

b) \(\left{\right. & x + 3 y = - 2 \\ & 5 x + 8 y = 11\)

\(\left{\right. & - 5 x - 15 y = 10 \\ & 5 x + 8 y = 11\)

\(\left{\right. & - 7 y = 21 \\ & 5 x + 8 y = 11\)

\(\left{\right. & y = - 3 \\ & 5 x + 8. \left(\right. - 3 \left.\right) = 11\)

\(\left{\right. & y = - 3 \\ & x = 7\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \left(\right. 7 ; - 3 \left.\right)\).