Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{A D} = \mathbf{d}\). Lấy gốc tọa độ tại \(A\). Khi đó

\(A = 0 , B = \mathbf{b} , D = \mathbf{d} , C = B + D = \mathbf{b} + \mathbf{d} .\)

Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\) nên

\(E = \frac{A + B}{2} = \frac{0 + \mathbf{b}}{2} = \frac{\mathbf{b}}{2} .\)

Vì \(F\) là trung điểm của \(C D\) nên

\(F = \frac{C + D}{2} = \frac{\left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) + \mathbf{d}}{2} = \frac{\mathbf{b}}{2} + \mathbf{d} .\)

a) Xét các vectơ cạnh của tứ giác \(A E F D\):

\(\overset{\rightarrow}{A E} = E - A = \frac{\mathbf{b}}{2} , \overset{\rightarrow}{F D} = D - F = \mathbf{d} - \left(\right. \mathbf{d} + \frac{\mathbf{b}}{2} \left.\right) = - \frac{\mathbf{b}}{2} .\)

Vậy \(\overset{\rightarrow}{A E} = - \overset{\rightarrow}{F D}\) nên \(A E \parallel F D\) và \(A E = F D\).

Tiếp,

\(\overset{\rightarrow}{E F} = F - E = \left(\right. \mathbf{d} + \frac{\mathbf{b}}{2} \left.\right) - \frac{\mathbf{b}}{2} = \mathbf{d} , \overset{\rightarrow}{A D} = D - A = \mathbf{d} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{A D}\) nên \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\).

Từ hai cặp cạnh đối song song (và bằng) suy ra \(A E F D\) là hình bình hành.

Tương tự với tứ giác \(A E C F\):

\(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{\mathbf{b}}{2} , \overset{\rightarrow}{C F} = F - C = \left(\right. \mathbf{d} + \frac{\mathbf{b}}{2} \left.\right) - \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - \frac{\mathbf{b}}{2} ,\)

nên \(A E \parallel C F\).

Và

\(\overset{\rightarrow}{E C} = C - E = \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \frac{\mathbf{b}}{2} = \mathbf{d} + \frac{\mathbf{b}}{2} = \overset{\rightarrow}{A F} ,\)

nên \(E C \parallel A F\).

Vậy \(A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Từ các tính toán trên ta đã thấy trực tiếp

\(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{A D} \Rightarrow E F = A D ,\)

và

\(\overset{\rightarrow}{A F} = \overset{\rightarrow}{E C} \Rightarrow A F = E C .\)

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A E C F\) là hai hình bình hành. (b) \(E F = A D\) và \(A F = E C\). ∎