a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Vì 2AB=2BC suy ra BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a) ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DA

Mà AM=BN=CP=DQ.

Trừ theo vế ta được AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

Suy ra MB=NC=PD=QA

Xét tam giác QAM và tam giác NPC có:

góc A = góc C = 90 độ

AQ=NC(cmt)

AM=CP(gt)

=>Tam giác QAM= tam giác NPC(c.g.c)

c)=> NP = MQ ( hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự như phần b ta có: Tam giác QAM= tam giác PDQ và tam giác QAM= tam giác MBN

Khi đó: MQ=PQ, MN=MQ và góc AMQ= góc DQP

Mà góc AMQ+AQM=90 độ

=>góc DQP+ góc AQM= 90 độ

Do đó góc MQP = 90 độ

tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi

Lại có góc MQP = 90 độ nên là hình vuông

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông

a) Tứ giác AMCK có hai đường chéo AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

ΔABC vuông tại  A có AM là đường trung tuyến nên AM=MC=MB.

Vậy hình bình hành AMCK có AM=MC nên là hình thoi.

b) Vì AMCK là hình thoi nên AK // BM và AK=MC=BM.

Tứ giác AKMB có AK // BM,AK=BM nên là hình bình hành.

c) Để AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MC.

Khi đó ΔABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông.

a)Tam giácBHE vuông tại H có góc BEH + góc B = 90 độ

Suy ra góc BEH = 90 độ - 45 độ = 45 độ nên góc B= góc BEH = 45 độ

Vậy tam giác BEH vuông tại H

b) Chứng minh tương tự như câu a ta được tam giác CFG vuông tại G nên GF=GC và HB=HE

Lại có BH=HG=GC suy ra EH=HG=GF và EH//FG ( cùng vuông góc với BC)

Tứ giác EFGH có EH//FG, EH=FG

=>tứ giác EFGH là hình bình hành 

Xét hình bình hành có một góc vuông là góc H nên là hình chữ nhật

Mà hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là EH=HG nên là hình vuông

Vậy EFGH là hình vuông

a)  ABC vuông cân nên góc B= góc C = 45 độ

AC⊥Oy (gt); \(O x \bot O y\) (gt) => AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\hat{x O y} = 9 0^{o}\)

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

a) ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường.

Xét ΔOBM và ΔODP có:

     OB=OD ( giả thiết)

     OBM=ODP (so le trong)

     BOM=DOP (đối đỉnh)

Vậy ΔOBM=ΔODP (g.c.g)

Suy ra OM=OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ΔOAQ=ΔOCN (g.c.g) suy ra OQ=ON (hai cạnh tương ứng)

MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP⊥NQ nên là hình thoi.

a)ABCD là hình bình hành nên AB=DC suy ra AB=DC

Do đó AM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCN có AM // NC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADC vuông tại A có AN là đường trung tuyến nên AN=​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCN là hình thoi.

Ta có ABCD là hình thoi nên AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC

Suy ra GA=GC,HA=HC (1)

Và AC là trung trực của BD suy ra AG=AH,CG=CH (2)

Từ (1),(2)suy ra AG=GC=CH=HA nên AGCH là hình thoi.

a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)