Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tam của tam giác ABC.Suy ra GM=GB/2;Gn=GC/2 (tính chất trọng tâm của tam ) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP=PB=GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (giả thiết) GQ=QC=GC/2 (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra GM=GP;GN=GQ

Xét tam giác PQMN có:GM=GP:GN=GQ (chứng minh trên)

Do đó tam giác có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

 a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC.

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.