Tứ giác AMCK có

2 đường chéo AC,MK cắt nhau tại tđ' mỗi đường

=> Tg AMCK là hình bình hành

∆ABC vuông tại A có

AM là đường t.tuyến nên

AM= MC= MB

Hình bình hành AMCK có

AM= MC

=> AMCK là hình thoi

b) vì AMCK là hình thoi nên

AK// BM

AK= MC= BM

Tg AKMB có

AK// BM, AK= BM

=> Tg AKMB là hình bình hành

c) AMCK là hình vuông cần

AM vuông góc với MC

Khi đó ∆ABC có

AM là đường cao, đường t.tuyến

=> ∆ABC cân tại A

Vì ∆ ABC cân tại A

=> AMCK là hình vuông.

∆ABC vuông cân nên:

gócB = gócC = 45°

∆BEH vuông tại H có:

gócBEH + gócB = 90°

=> gócBEH =90°-45°=45°

=>gócB= gócBEH=45°

=>∆BEH vuông và cân tại H

b) chứng minh tương tự ta được

∆CFG vuông cân tại G

=> GF=GC, HB=HE

Mặt khác: BH=HG=GC

=> EH=HG=GF, EH//FG

Tg EFGH có:

EH//FG, EH=FG

=> Tứ giác EFGH là hình bình hành

HBH EFGH có 1 góc vuông gócH

=> EFGH là hình chữ nhật

Hình chữ nhật EFGH có 2 cạnh kề bằng nhau

EH=HG

=> EFGH là hình vuông.

Tứ giác OBAC có 3 góc vuông:

gócB = gócC = gócBOC =90°

Nên OBAC là hình chữ nhật

Mà A nằm trên tia phân giác của OM

=> AB=AC

=> OBAC là hình vuông

Bài3:

ABCD là HBH nên

hai đường chéo

AC,BD cắt nhau tại O

Xét ∆ IBM=ODP có:

OB=OD(gt)

gócOBM= gócODP( slt)

gócBOM= gócDOP(2 góc đối đỉnh)

=>∆OBM=∆ODP(g.c.g)

=>OM=OP(2 cạnh t/ứng)

chứng minh tương tự: ∆OAQ= ∆OCN(g.c.g)

=> OQ=ON(2 cạnh t/ứng)

MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên

=> MNPQ là hình bình hành

b) HBH MNPQ có

2 đường chéo MP vuông góc với NQ

=> MNPQ là hình thoi

Bài2:

ABCD là hình bình hành nên

AB=DC

=>½ AB= ½DC

Do đo AM=BM=DN=CN

TG AMCN có

AM//NC

AM= NC

=>tg AMCN là hình bình hành

Lại có∆ADC vuông tại A có

AN là đg trung tuyến nên

AN= ½DC=DN=CN

HBH AMCN có

2 đường chéo AC, MN vuông góc với nhau.

=> TG AMCN là hình thoi.

Vì TG ABCD là hình thoi nên: AB=AD GócABC = gócADC =>gócABE = gócADF Xét ∆ABG và ∆ADF có: AB=AD gócABE= gócADF BE=DF =>∆ABE = ∆ADF(c.g.c) => gócBAE = gócDAF (2 góc t/ứng) Vậy gócBAD= gócBAE+ gócEAD+gócDAF+ gócEAD= gócEAF. Xét ∆ABG= ∆ADH có AB= AD(t/c hình thoi) gócABG=gócADH(t/c hthoi) gócBAG=gócDAH(cmt) => ∆ABG= ∆ADH(g.c.g) =>AG=AH Xét ∆AOG và ∆ AOH có( Ở là giao điểm của AC và BD) Cạnh AO chung(cmt) GócOAG= gócOAH(cmt) =>∆AOG= ∆AOH(c.g.c) => gócAOG= gócAOH Mà gócAOG+ gócAOH= 108°( kề bù) => gócAOG=gócAOH=90° => AG=BD AH=BD Xét TG AGCH có Vì ABCD là hthoi nên AC vuông góc với BD AG vuông góc với BD, AH vuông góc với BD => AG//CH, AH//CB => AGCH là HBH Lại có: AG= AH(cmt) => AGCH là hình thoi

Bài 1:

Ta có ABCD là hình thoi nên

AH vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường

BD là trung trực của AC

=> GA=GC, HA=HC(1)

AC là trung trực của BD

=> AG=AH

CG=CH(2)

Từ(1) và(2)

=> AG=GC=CH=HA

=>AGCH là hình thoi.