a)x^2+25-10x=x^2-10x+25

=(x-5)^2

b)-8y^3+x^3=x^3-8y^3

=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)

a)(2x+1)^2=4x^2+4x+1

b)(a-b/2)^2=a^3-3/2a^2b+3/4ab^2-1/8

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Vì ��=2��AB=2BC suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuôn

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

\(A B = B C = C D = A D\) 

Mà: \(\left{\right. A B = A M + M B \\ B C = B N + N C \\ C D = C P + P D \\ A D = D Q + Q A\) 

Lại có: \(A M = B N = C P = D Q\)

\(\Rightarrow M B = N C = P D = Q A \left(\right. d p c m \left.\right)\) 

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 9 0^{o} \left(\right. g t \left.\right)\)

\(A M = C P \left(\right. g t \left.\right)\)

\(Q A = N C \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta Q A M = \Delta N C P \left(\right. c . g . c \left.\right)\) 

c) Xét các tam giác: \(\Delta Q A M , \Delta N C P , \Delta P D Q , \Delta M B N\) ta có:

\(\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 9 0^{o} \left(\right. g t \left.\right)\)

\(A M = B N = C P = D Q \left(\right. g t \left.\right)\)

\(M B = N C = P D = Q A \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta Q A M = \Delta N C P = \Delta P D Q = \Delta M B N \left(\right. c . g . c \left.\right)\) 

\(\Rightarrow M Q = Q P = P N = N M\) (các cạnh tương ứng) 

\(\Rightarrow M N P Q\) là hình thoi (1)

Xét tam giác QAM ta có:

\(\hat{Q M A} + \hat{A Q M} = 18 0^{o} - 9 0^{o} = 9 0^{o}\) 

Mà: \(\Delta Q A M = \Delta M B N \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{B M N} = \hat{A Q M}\) (hai góc tương ứng) 

\(\Rightarrow \hat{B M N} + \hat{Q M A} = 9 0^{o}\)

Lại có: \(\hat{B M N} + \hat{Q M A} + \hat{N M Q} = 18 0^{o}\)

\(\Rightarrow \hat{N M Q} = 18 0^{o} - 9 0^{o} = 9 0^{o}\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông 

a/

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà \(A B \bot A C\) 

\(\Rightarrow M I \bot A C \Rightarrow M K \bot A C\)

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông \(\Rightarrow A M \bot B C\) => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

a)  Tam giác ABC vuông cân nên góc B= góc C = 45 độ

Tam giácBHE vuông tại H có góc BEH + góc B = 90 độ

Suy ra góc BEH = 90 độ - 45 độ = 45 độ nên góc B= góc BEH = 45 độ

Vậy tam giác BEH vuông tại H

b) Chứng minh tương tự như câu a ta được tam giác CFG vuông tại G nên GF=GC và HB=HE

Lại có BH=HG=GC suy ra EH=HG=GF và EH//FG ( cùng vuông góc với BC)

Tứ giác EFGH có EH//FG, EH=FG

=>tứ giác EFGH là hình bình hành 

Xét hình bình hành có một góc vuông là góc H nên là hình chữ nhật

Mà hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là EH=HG nên là hình vuông

Vậy EFGH là hình vuông

AC⊥Oy (gt); \(O x \bot O y\) (gt) => AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\hat{x O y} = 9 0^{o}\)

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

a)

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O, và O là trung điểm của mỗi đường chéo.

Xét hai tam giác OBM và ODP có:

OB bằng OD (theo giả thiết),

góc OBM bằng góc ODP (hai góc so le trong),

góc BOM bằng góc DOP (hai góc đối đỉnh).

Suy ra hai tam giác OBM và ODP bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

Từ đó suy ra OM bằng OP (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có hai tam giác OAQ và OCN bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc, nên OQ bằng ON (hai cạnh tương ứng).

Vì hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

---

b)

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau nên MNPQ là hình thoi.

a)Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD và AD song song với BC.

Tứ giác AMCN có AM bằng CN và AM song song với CN nên AMCN là hình bình hành (1).

Tứ giác AMND có AM bằng DN và AM song song với DN nên AMND là hình bình hành.

Suy ra AD song song với MN, mà AD vuông góc với AC nên MN cũng vuông góc với AC (2).

b)Từ (1) và (2) suy ra AMCN là hình thoi.