BD và CE là trung tuyến nên cắt nhau tại trọng tâm G. M là trung điểm BE, N là trung điểm CD. Dựa vào tính chất trọng tâm: Trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1. Kết hợp các đoạn trung điểm và đường trung bình, suy ra I và K chia đoạn MN thành ba phần bằng nhau. Vậy MI = IK = KN.

Xét tam giác ABC: M và N là trung điểm của AC và AB nên MN là đường trung bình. Suy ra MN song song BC và MN bằng một nửa BC. Xét tam giác GBC: D và E lần lượt là trung điểm của GB và GC nên DE là đường trung bình. Suy ra DE song song BC và DE bằng một nửa BC. Vì MN và DE cùng song song BC nên MN song song DE. b) Từ các cặp đường trung bình trong các tam giác liên quan và tính chất trung điểm, suy ra ND song song ME.

AD là trung tuyến nên D là trung điểm BC. AM = 1/2 MC nên AM : MC = 1 : 2. Xét tam giác ABC, áp dụng định lý Menelaus cho đường thẳng BM cắt AD tại O, ta được: AO = OD. Vậy O là trung điểm AD. b) Từ các tỉ lệ chia đoạn trong tam giác, suy ra: OM = 1/4 BM.

Từ tỉ lệ trên và quan hệ các đoạn thẳng trong tam giác, suy ra: BD gấp hai lần ID.

Phân giác góc B cắt AC tại N: AN / NC = AB / BC = b / a Suy ra AN = b^2 / (a + b) Tương tự phân giác góc C cắt AB tại M: AM = b^2 / (a + b) Vì hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục đối xứng của tam giác nên MN song song BC. Ta có MN = a × AN / AC MN = a × [b^2 / (a + b)] / b MN = a b / (a + b) Vậy MN = a b / (a + b).

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 12 cm, BC = 6 cm. Phân giác góc C cắt AB tại D nên theo định lý phân giác: AD / DB = AC / BC = 12 / 6 = 2 / 1 Suy ra AD = 2DB. Vì AB = 12 nên: AD + DB = 12 2DB + DB = 12 3DB = 12 DB = 4 cm AD = 8 cm

a) Vì d song song với CD nên MP song song với CD. Xét tam giác ADC có MP song song với CD thì: AM chia MD bằng AP chia PC (theo định lý Thales). Vì d song song với AB nên PN song song với AB. Xét tam giác ABC có PN song song với AB thì: BN chia NC bằng AP chia PC (theo định lý Thales). Từ hai kết quả trên suy ra: AM chia MD bằng BN chia NC. b) Vì MD gấp hai lần MA nên: AM chia MD bằng một phần hai, suy ra AM chia AD bằng một phần ba. Xét tam giác ADC có MP song song với CD thì: AM chia AD bằng MP chia DC (hệ quả định lý Thales). Suy ra MP chia DC bằng một phần ba, nên MP bằng một phần ba DC và MP bằng hai xen ti mét. Vì AM chia AD bằng một phần ba nên AP chia AC bằng một phần ba, suy ra PC chia CA bằng hai phần ba. Xét tam giác ABC có PN song song với AB thì: CP chia CA bằng PN chia AB (hệ quả định lý Thales). Suy ra PN chia AB bằng hai phần ba nên PN bằng hai phần ba AB và PN bằng tám phần ba xen ti mét. Suy ra: MN bằng MP cộng PN, bằng hai cộng tám phần ba, bằng mười bốn phần ba xen ti mét.

A= (x^2 - 2xy + y^2) + y^2 +2x -6y +2028 =(x - y)^2 +2(x - y)+(y ^ 2 - 4y)+2028 = (x - y) ^ 2 + 2(x - y) + 1 +(y^ 2 -4y + 4 )+2023 = (x - y + 1)^2 +(y - 2)^2 +2023 lớn hơn hoặc bằng 0 + 0 + 2023 = 2023

Vậy A min =2023 Giá trị này đạt tại x - y + 1 = y - 2 = 0

=>y = 2; x = 1

a)3x(x-1)-1+x=0

3x(x-1)+(x-1)=0

(x-1)(3x+1)=0

+)x-1=0 +)3x+1=0

x=1 3x=-1

x=-1/3

b)x^2-9x=0

x(x-9)=0

+)x=0 +)x-9=0

x=9

Biểu đồ cột.