1. Xác định biến:

• Gọi \(x\) là tổng thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh (tính bằng phút).
• Gọi \(y\) là tổng thời lượng quảng cáo trên sóng truyền hình (tính bằng phút).

2. Xác định hàm mục tiêu: Mục tiêu là tối đa hóa hiệu quả quảng cáo. Hiệu quả của 1 phút quảng cáo trên truyền hình gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Nếu coi hiệu quả của 1 phút phát thanh là \(E\), thì hiệu quả của 1 phút truyền hình là \(6 E\). Tổng hiệu quả là: \(Z = E \cdot x + 6 E \cdot y\). Để tối đa hóa \(Z\), ta có thể tối đa hóa hàm mục tiêu \(Z^{'} = x + 6 y\)(vì \(E > 0\)).

3. Xác định các ràng buộc:

• Ràng buộc về ngân sách: Chi phí quảng cáo trên phát thanh: \(800.000 x\)đồng. Chi phí quảng cáo trên truyền hình: \(4.000.000 y\)đồng. Tổng chi phí tối đa là 16.000.000 đồng. Ta có bất phương trình: \(800.000 x + 4.000.000 y \leq 16.000.000\). Chia cả hai vế cho 800.000 để rút gọn: \(x + 5 y \leq 20\).
• Ràng buộc về thời lượng chương trình phát thanh: Đài phát thanh chỉ nhận các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Điều này có nghĩa là nếu công ty đặt quảng cáo trên phát thanh (\(x > 0\)), thì tổng thời lượng \(x\)phải được tạo thành từ các chương trình có độ dài ít nhất 5 phút. Cách hiểu thông thường trong bài toán quy hoạch tuyến tính là tổng thời lượng \(x\)phải là bội số của 5 phút (ví dụ: 5 phút, 10 phút, 15 phút, ...). Do đó, ta có thể coi \(x\)là bội số không âm của 5. Nếu \(x = 0\)thì không có ràng buộc này.
• Ràng buộc về thời lượng chương trình truyền hình: Đài truyền hình chỉ nhận các chương trình dài tối đa là 4 phút. Tương tự, nếu công ty đặt quảng cáo trên truyền hình (\(y > 0\)), thì tổng thời lượng \(y\)phải được tạo thành từ các chương trình có độ dài tối đa 4 phút. Trong nhiều bài toán, ràng buộc này có thể được hiểu theo nhiều cách. Tuy nhiên, nếu ta xét theo hướng bài toán quy hoạch tuyến tính kinh điển với biến là tổng thời lượng, và nếu chúng ta có thể ghép các đoạn \(\leq 4\)phút để tạo thành tổng thời lượng \(y\), thì ràng buộc này ít khi trực tiếp giới hạn \(y\)trừ khi có thêm thông tin về số lượng chương trình. Tuy nhiên, trong trường hợp này, cách hiểu hợp lý nhất để bài toán có thể giải được theo phương pháp chuẩn là: nếu công ty mua \(y\)phút trên TV, thì các chương trình này phải tuân thủ quy định đó. Nếu chúng ta giả định rằng công ty có thể mua các đoạn thời lượng \(y\)sao cho chúng có thể được ghép từ các chương trình có độ dài tối đa 4 phút, thì ràng buộc này sẽ không trực tiếp giới hạn \(y\)nếu \(y\)được chia thành nhiều chương trình nhỏ. Tuy nhiên, một cách giải thích khác cho ràng buộc này là nó áp dụng cho thời lượng mua mỗi lần. Nếu công ty mua tổng thời lượng \(y\), và mỗi chương trình \(\leq 4\)phút, thì việc mua 4 phút tổng cộng là khả thi (một chương trình 4 phút). Việc mua 5 phút sẽ khó khăn hơn nếu nó yêu cầu hai chương trình (ví dụ 2+3 phút) hoặc một chương trình không hợp lệ.
  Để bài toán đơn giản và có lời giải theo quy hoạch tuyến tính, ta xem xét các khả năng. Các điểm cực của miền ràng buộc \(x + 5 y \leq 20\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\)là:
  Ta đánh giá hàm mục tiêu \(Z^{'} = x + 6 y\)tại các điểm này:
  Điểm (0, 4) cho giá trị hiệu quả cao nhất. Bây giờ, kiểm tra các ràng buộc đặc biệt tại điểm (0, 4):
  Do đó, phương án tối ưu là không sử dụng quảng cáo trên sóng phát thanh và tập trung toàn bộ ngân sách vào quảng cáo trên sóng truyền hình.
• • (0, 0)
  • (20, 0)
  • (0, 4)
• • Tại (0, 0): \(Z^{'} = 0 + 6 \left(\right. 0 \left.\right) = 0\).
  • Tại (20, 0): \(Z^{'} = 20 + 6 \left(\right. 0 \left.\right) = 20\).
  • Tại (0, 4): \(Z^{'} = 0 + 6 \left(\right. 4 \left.\right) = 24\).
• • \(x = 0\): Không đặt quảng cáo trên sóng phát thanh, nên không vi phạm ràng buộc "ít nhất 5 phút" cho chương trình.
  • \(y = 4\): Đặt quảng cáo 4 phút trên sóng truyền hình. Điều này hoàn toàn tuân thủ ràng buộc "tối đa là 4 phút" cho mỗi chương trình (có thể là một chương trình duy nhất dài 4 phút).
  • Ngân sách: \(800.000 \times 0 + 4.000.000 \times 4 = 16.000.000\) đồng. Vừa đủ ngân sách tối đa.

Gọi \(x\)là số kg sản phẩm loại I và \(y\)là số kg sản phẩm loại II cần sản xuất. Điều kiện ban đầu: \(x \geq 0\)và \(y \geq 0\).

Ràng buộc về nguyên liệu:

• Sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu/kg sản phẩm.
• Sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu/kg sản phẩm.
• Tổng nguyên liệu có là 200kg. Ta có bất phương trình: \(2 x + 4 y \leq 200\), rút gọn thành \(x + 2 y \leq 100\).

Ràng buộc về thời gian làm việc:

• Sản phẩm loại I cần 30 giờ/kg sản phẩm.
• Sản phẩm loại II cần 15 giờ/kg sản phẩm.
• Tổng thời gian làm việc là 120 giờ. Ta có bất phương trình: \(30 x + 15 y \leq 120\), rút gọn thành \(2 x + y \leq 8\).

Mục tiêu là tối đa hóa tổng mức lãi.

• Lãi từ sản phẩm loại I là 40.000 đồng/kg.
• Lãi từ sản phẩm loại II là 30.000 đồng/kg. Hàm mục tiêu (tổng lãi, đơn vị nghìn đồng): \(L \left(\right. x , y \left.\right) = 40 x + 30 y\).

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(L \left(\right. x , y \left.\right) = 40 x + 30 y\)với các ràng buộc:

1. \(x \geq 0\)
2. \(y \geq 0\)
3. \(x + 2 y \leq 100\)
4. \(2 x + y \leq 8\)

Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính. Ta sẽ tìm các đỉnh của miền đa giác ràng buộc và tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh đó. Các đường biên của miền ràng buộc là: \(x = 0\), \(y = 0\), \(x + 2 y = 100\), và \(2 x + y = 8\).

Tìm các đỉnh:

• Đỉnh 1: Giao điểm của \(x = 0\) và \(y = 0\). Ta có \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\).
• Đỉnh 2: Giao điểm của \(y = 0\) và \(2 x + y = 8\). Thay \(y = 0\) vào, ta được \(2 x = 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 4\). Ta có \(\left(\right. 4 , 0 \left.\right)\). (Kiểm tra ràng buộc \(x + 2 y \leq 100\): \(4 + 2 \left(\right. 0 \left.\right) = 4 \leq 100\), đúng).
• Đỉnh 3: Giao điểm của \(x = 0\) và \(2 x + y = 8\). Thay \(x = 0\) vào, ta được \(y = 8\). Ta có \(\left(\right. 0 , 8 \left.\right)\). (Kiểm tra ràng buộc \(x + 2 y \leq 100\): \(0 + 2 \left(\right. 8 \left.\right) = 16 \leq 100\), đúng).
• Đỉnh 4: Giao điểm của \(x + 2 y = 100\) và \(2 x + y = 8\). Nhân phương trình thứ hai với 2: \(4 x + 2 y = 16\). Lấy phương trình \(\left(\right. 4 x + 2 y \left.\right) - \left(\right. x + 2 y \left.\right) = 16 - 100\). \(3 x = - 84 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = - 28\). Vì \(x\) phải không âm, đỉnh này không nằm trong miền ràng buộc hợp lệ. Điều này cho thấy đường thẳng \(x + 2 y = 100\) nằm xa hơn so với đường thẳng \(2 x + y = 8\) đối với các giá trị \(x , y\) không âm, nên ràng buộc \(x + 2 y \leq 100\)không ảnh hưởng đến miền nghiệm được xác định bởi các ràng buộc khác.

Vậy, các đỉnh của miền ràng buộc là \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 4 , 0 \left.\right)\), và \(\left(\right. 0 , 8 \left.\right)\). Tính giá trị hàm mục tiêu \(L \left(\right. x , y \left.\right) = 40 x + 30 y\)tại các đỉnh:

• Tại \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\): \(L \left(\right. 0 , 0 \left.\right) = 40 \left(\right. 0 \left.\right) + 30 \left(\right. 0 \left.\right) = 0\).
• Tại \(\left(\right. 4 , 0 \left.\right)\): \(L \left(\right. 4 , 0 \left.\right) = 40 \left(\right. 4 \left.\right) + 30 \left(\right. 0 \left.\right) = 160\).
• Tại \(\left(\right. 0 , 8 \left.\right)\): \(L \left(\right. 0 , 8 \left.\right) = 40 \left(\right. 0 \left.\right) + 30 \left(\right. 8 \left.\right) = 240\).

Giá trị lãi cao nhất là 240.000 đồng, đạt được khi sản xuất 0 kg sản phẩm loại I và 8 kg sản phẩm loại

Bài 3 Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x^{3} + y^{3} \left.\right) \geq 0\).

Chúng ta cần phân tích dấu của hai thừa số: \(\left(\right. x - y \left.\right)\)và \(\left(\right. x^{3} + y^{3} \left.\right)\). Ta có công thức phân tích \(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right)\). Biểu thức \(x^{2} - x y + y^{2}\)luôn không âm với mọi số thực \(x , y\)vì nó có thể viết lại thành \(\left(\right. x - \frac{y}{2} \left.\right)^{2} + \frac{3 y^{2}}{4}\), và nó bằng 0 chỉ khi \(x = 0\)và \(y = 0\).

Do đó, bất phương trình trở thành \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) \geq 0\). Nếu \(\left(\right. x , y \left.\right) \neq \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), thì \(x^{2} - x y + y^{2} > 0\), nên bất phương trình tương đương với \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \geq 0\). Bất phương trình này đúng khi và chỉ khi hai thừa số \(\left(\right. x - y \left.\right)\)và \(\left(\right. x + y \left.\right)\)cùng dấu (hoặc một trong hai bằng 0).

a) \(\left{\right. x + y - 2 \geq 0 \\ x - 3 y + 3 \leq 0\)

Hệ bất phương trình tương đương: \(\left{\right. x + y \geq 2 & (\text{BPT1}) \\ x - 3 y \leq - 3 & (\text{BPT2})\)

1. Xét BPT1: \(x + y \geq 2\)
2. • Đường thẳng biên: \(d_{1} : x + y = 2\).
   • Kiểm tra O(0, 0): \(0 + 0 = 0\). Vì \(0 ≱ 2\), miền nghiệm không chứa O(0, 0).
   • Miền nghiệm \(S_{1}\) là nửa mặt phẳng bao gồm \(d_{1}\) và nằm phía trên \(d_{1}\).
3. Xét BPT2: \(x - 3 y \leq - 3\)(Tương đương \(3 y \geq x + 3\), hay \(y \geq \frac{1}{3} x + 1\))
4. • Đường thẳng biên: \(d_{2} : x - 3 y = - 3\).
   • Kiểm tra O(0, 0): \(0 - 3 \left(\right. 0 \left.\right) = 0\). Vì \(0 ≰ - 3\), miền nghiệm không chứa O(0, 0).
   • Miền nghiệm \(S_{2}\) là nửa mặt phẳng bao gồm \(d_{2}\) và nằm phía trên \(d_{2}\).
5. Miền nghiệm của hệ (S): Là giao của hai miền nghiệm \(S = S_{1} \cap S_{2}\), bao gồm các điểm nằm trên cả hai đường thẳng \(d_{1}\)và \(d_{2}\).

b) \(\left{\right. x + y > 0 \\ 2 x - 3 y + 6 > 0 \\ x - 2 y + 1 \geq 0\)

Hệ bất phương trình tương đương: \(\left{\right. x + y > 0 & (\text{BPT1}) \\ 2 x - 3 y > - 6 & (\text{BPT2}) \\ x - 2 y \geq - 1 & (\text{BPT3})\)

1. Xét BPT1: \(x + y > 0\)(hay \(y > - x\))
2. • Đường thẳng biên: \(d_{1} : x + y = 0\).
   • Kiểm tra O(0, 0): \(0 + 0 = 0\). Vì \(0 ≯ 0\), miền nghiệm không chứa O(0, 0).
   • Miền nghiệm \(S_{1}\) là nửa mặt phẳng không chứa \(d_{1}\) và nằm phía trên \(d_{1}\).
3. Xét BPT2: \(2 x - 3 y > - 6\)(hay \(y < \frac{2}{3} x + 2\))
4. • Đường thẳng biên: \(d_{2} : 2 x - 3 y = - 6\).
   • Kiểm tra O(0, 0): \(2 \left(\right. 0 \left.\right) - 3 \left(\right. 0 \left.\right) = 0\). Vì \(0 > - 6\), miền nghiệm chứa O(0, 0).
   • Miền nghiệm \(S_{2}\) là nửa mặt phẳng không chứa \(d_{2}\) và nằm phía dưới \(d_{2}\).
5. Xét BPT3: \(x - 2 y \geq - 1\)(hay \(y \leq \frac{1}{2} x + 0.5\))
6. • Đường thẳng biên: \(d_{3} : x - 2 y = - 1\).
   • Kiểm tra O(0, 0): \(0 - 2 \left(\right. 0 \left.\right) = 0\). Vì \(0 \geq - 1\), miền nghiệm chứa O(0, 0).
   • Miền nghiệm \(S_{3}\) là nửa mặt phẳng bao gồm \(d_{3}\) và nằm phía dưới \(d_{3}\).
7. Miền nghiệm của hệ (S): Là giao của ba miền nghiệm \(S = S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}\), là vùng giới hạn bởi ba đường thẳng \(d_{1} , d_{2} , d_{3}\)và thỏa mãn các điều kiện về phía (lưu ý: \(d_{1}\)và \(d_{2}\)không thuộc miền nghiệm).

a) \(2 x - y \geq 0\);

1. Xét đường thẳng biên: \(2 x - y = 0\), hay \(y = 2 x\).
2. Rút gọn bất phương trình: \(2 x - y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2 x\).
3. Miền nghiệm: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa đường thẳng \(y = 2 x\) và bao gồm tất cả các điểm \(\left(\right. x , y \left.\right)\) nằm phía dưới hoặc trên đường thẳng đó.

b) \(\frac{x - 2 y}{2} > \frac{2 x + y + 1}{3}\).

1. Rút gọn bất phương trình:\(\frac{x - 2 y}{2} > \frac{2 x + y + 1}{3}\)Nhân cả hai vế với 6 (là BCNN của 2 và 3):\(3 \left(\right. x - 2 y \left.\right) > 2 \left(\right. 2 x + y + 1 \left.\right)\)\(3 x - 6 y > 4 x + 2 y + 2\)Chuyển vế:\(3 x - 4 x - 6 y - 2 y > 2\)\(- x - 8 y > 2\)Nhân cả hai vế với -1 và đổi chiều bất đẳng thức:\(x + 8 y < - 2\)