) Do A B , A C AB,AC là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn ( O ) (O) nên A B O ^ = A C O ^ = 9 0 ∘ ABO = ACO =90 ∘ . Gọi I I là trung điểm O A OA. Xét tam giác O A B OAB vuông tại B B có B I BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I B = I A = I O = 1 2 A O IB=IA=IO= 2 1 ​ AO (1) Xét tam giác O A C OAC vuông tại C C có C I CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I C = I A = I O = 1 2 A O IC =IA=IO= 2 1 ​ AO (2) Từ (1) và (2) suy ra I B = I C = I A = I O IB=IC=IA=IO. Suy ra B , C B,C thuộc đường tròn tâm I I đường kính O A OA.

) Tứ giác $BCED$ nội tiếp, $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ suy ra \widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra E C B ^ = 9 0 ∘ ECB =90 ∘ . Mặt khác E D ⊥ A B ED⊥AB tại D D (gt) suy ra E D B ^ = 9 0 ∘ EDB =90 ∘ . Gọi I I là trung điểm của B E BE. Xét tam giác B C E BCE có B C E ^ = 9 0 ∘ BCE =90 ∘ và C I CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I C = I E = I B = 1 2 B E IC=IE=IB= 2 1 ​ BE. Xét tam giác B E D BED có B D E ^ = 9 0 ∘ BDE =90 ∘ và D I DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I D = I E = I B = 1 2 B E ID=IE=IB= 2 1 ​ BE. Suy ra B C E D BCED là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I I, đường kính B E BE.

) Chứng minh A B C ^ = C H M ^ ABC = CHM . Vì A M , C N AM,CN là các đường cao của Δ A B C ΔABC nên A M ⊥ B C AM⊥BC và C N ⊥ A B CN⊥AB Suy ra B M H ^ = B N H ^ = 9 0 ∘ BMH = BNH =90 ∘ . Gọi F F là trung điểm của H B HB. Xét tam giác H N B HNB có H N B ^ = 9 0 ∘ HNB =90 ∘ và N F NF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên F N = F H = F B = 1 2 B H FN=FH=FB= 2 1 ​ BH (1) Xét tam giác H M B HMB có H M B ^ = 9 0 ∘ HMB =90 ∘ và M F MF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên F M = F H = F B = 1 2 B H FM=FH=FB= 2 1 ​ BH (2) Suy ra B N H M BNHM là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm F F, đường kính H B HB. Do đó M B N ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ MBN + NHM =180 ∘ (tổng hai góc đối bằng 18 0 ∘ 180 ∘ . hay C B A ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ CBA + NHM =180 ∘ . Mà M B N ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ MBN + NHM =180 ∘ (hai góc kề bù) do đó C B A ^ = M B N ^ CBA = MBN .

) Chứng minh tứ giác B F H D BFHD nội tiếp. Xét đường tròn ( I ) (I) có C F B ^ = 9 0 ∘ CFB =90 ∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra C F ⊥ A B CF⊥AB. C F B ^ = 9 0 ∘ CFB =90 ∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra B E ⊥ A C BE⊥AC Mà C F CF cắt B E BE tại H H nên H H là trực tâm của tam giác A B C ABC Hay A H ⊥ B C AH⊥BC, suy ra H D B ^ = 9 0 ∘ HDB =90 ∘ Gọi K K là trung điểm B H BH. Xét tam giác H D B HDB có H D B ^ = 9 0 ∘ HDB =90 ∘ và D K DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên K D = K H = K B = 1 2 B H KD=KH=KB= 2 1 ​ BH (1) Xét tam giác H F B HFB có H F B ^ = 9 0 ∘ HFB =90 ∘ và E K EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên K E = K H = K B = 1 2 H B KE=KH=KB= 2 1 ​ HB (2) Từ (1) và (2) suy ra K B = K H = K F = K D KB=KH=KF=KD. Vậy tứ giác B F H D BFHD nội tiếp được đường tròn có tâm K K đường kính B H BH.

Gọi O là trung điểm của BC

BD,CE là các đg cao của tam giác ABC nên AC và CE vuông góc tại AB

Suy ra góc BDC = góc BEC= 90⁰

Xét tam giác BDC có

BEC =90 ∘ và E O EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên O E = O C = O B = 1 2 B C OE=OC=OB= 2 1 ​ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra O D = O E = O C = O B OD=OE=OC=OB. Vậy tứ giác B C D E BCDE nội tiếp được đường tròn có tâm O O là trung điểm B C BC.