a) \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\)

Để chứng minh bất phương trình \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x\), ta cần xác định hệ số của \(x\) và chứng minh nó khác 0 với mọi giá trị của tham số \(m\).
Hệ số của \(x\) trong bất phương trình này là \(a = m^{2} + \frac{1}{2}\).
Ta biết rằng \(m^{2} \geq 0\) với mọi số thực \(m\).
Do đó, \(m^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}\) với mọi số thực \(m\).
Suy ra, \(a = m^{2} + \frac{1}{2} > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Vì hệ số của \(x\) luôn dương và khác 0 với mọi giá trị của \(m\), nên bất phương trình \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

b) \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024\)

Để chứng minh bất phương trình \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x\), ta cần xác định hệ số của \(x\) và chứng minh nó khác 0 với mọi giá trị của tham số \(m\).
Hệ số của \(x\) trong bất phương trình này là \(a = - \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right)\).
Ta cần chứng minh \(a \neq 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\), điều này tương đương với việc chứng minh \(m^{2} + m + 2 \neq 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Xét tam thức bậc hai \(P \left(\right. m \left.\right) = m^{2} + m + 2\).
Ta tính biệt thức \(\Delta\) của tam thức này:
\(\Delta = 1^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 2 \left.\right) = 1 - 8 = - 7\)
Vì \(\Delta = - 7 < 0\) và hệ số của \(m^{2}\) là \(1 > 0\), tam thức \(m^{2} + m + 2\) luôn nhận giá trị dương với mọi số thực \(m\).
Do đó, \(m^{2} + m + 2 \neq 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Suy ra, \(a = - \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) \neq 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Vì hệ số của \(x\) luôn khác 0 với mọi giá trị của \(m\), nên bất phương trình \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

Bất phương trình \(\frac{2005}{x+2004}+\frac{2006}{x+2005}<\frac{2007}{x+2006}+\frac{2008}{x+2007}\) Điều kiện xác định: Các mẫu số phải khác \(0\), tức là \(x\ne -2004\), \(x\ne -2005\), \(x\ne -2006\), \(x\ne -2007\). Biến đổi bất phương trình: Trừ \(1\) vào mỗi phân số ở vế trái và vế phải: .f5cPye .WaaZC:first-of-type .rPeykc.uP58nb:first-child{font-size:var(--m3t3);line-height:var(--m3t4);font-weight:400 !important;letter-spacing:normal;margin:0 0 10px 0}.rPeykc.uP58nb{font-size:var(--m3t5);font-weight:500;line-height:var(--m3t6);margin:20px 0 10px 0}.rPeykc.uP58nb.MNX06c{font-size:var(--m3t1);font-weight:normal;letter-spacing:normal;line-height:var(--m3t2);margin:10px 0 10px 0} \(\left(\frac{2005}{x+2004}-1\right)+\left(\frac{2006}{x+2005}-1\right)<\left(\frac{2007}{x+2006}-1\right)+\left(\frac{2008}{x+2007}-1\right)\) Quy đồng mỗi cặp phân số: \(\frac{2005-(x+2004)}{x+2004}+\frac{2006-(x+2005)}{x+2005}<\frac{2007-(x+2006)}{x+2006}+\frac{2008-(x+2007)}{x+2007}\) Rút gọn tử số: \(\frac{1-x}{x+2004}+\frac{1-x}{x+2005}<\frac{1-x}{x+2006}+\frac{1-x}{x+2007}\) Chuyển vế và đặt nhân tử chung: \((1-x)\left(\frac{1}{x+2004}+\frac{1}{x+2005}-\frac{1}{x+2006}-\frac{1}{x+2007}\right)<0\) Xét các trường hợp: Trường hợp 1: \(1-x>0\implies x<1\). Khi đó, biểu thức trong ngoặc phải âm: .rPeykc br:has(+span [data-cid]){display:none} \(\frac{1}{x+2004}+\frac{1}{x+2005}-\frac{1}{x+2006}-\frac{1}{x+2007}<0\) \(\left(\frac{1}{x+2004}-\frac{1}{x+2006}\right)+\left(\frac{1}{x+2005}-\frac{1}{x+2007}\right)<0\) \(\frac{2}{(x+2004)(x+2006)}+\frac{2}{(x+2005)(x+2007)}<0\) Vì \(x<1\), các mẫu số \((x+2004)(x+2006)\) và \((x+2005)(x+2007)\) đều dương, nên tổng này luôn dương. Do đó, trường hợp này không có nghiệm. Trường hợp 2: \(1-x<0\implies x>1\). Khi đó, biểu thức trong ngoặc phải dương: \(\frac{1}{x+2004}+\frac{1}{x+2005}-\frac{1}{x+2006}-\frac{1}{x+2007}>0\) \(\frac{2}{(x+2004)(x+2006)}+\frac{2}{(x+2005)(x+2007)}>0\) Vì \(x>1\), các mẫu số \((x+2004)(x+2006)\) và \((x+2005)(x+2007)\) đều dương, nên tổng này luôn dương. Do đó, trường hợp này có nghiệm là \(x>1\). Trường hợp 3: \(1-x=0\implies x=1\). Khi đó, bất phương trình trở thành \(0<0\), điều này vô lý. b) Bất phương trình \(\frac{2002}{x-2}+\frac{2000}{x-4}<\frac{2001}{x-3}+\frac{1999}{x-5}\) Điều kiện xác định: \(x\ne 2\), \(x\ne 3\), \(x\ne 4\), \(x\ne 5\). Biến đổi bất phương trình: Cộng \(1\) vào mỗi phân số ở vế trái và vế phải: \(\left(\frac{2002}{x-2}+1\right)+\left(\frac{2000}{x-4}+1\right)<\left(\frac{2001}{x-3}+1\right)+\left(\frac{1999}{x-5}+1\right)\) Quy đồng mỗi cặp phân số: \(\frac{2002+x-2}{x-2}+\frac{2000+x-4}{x-4}<\frac{2001+x-3}{x-3}+\frac{1999+x-5}{x-5}\) Rút gọn tử số: \(\frac{x+2000}{x-2}+\frac{x+1996}{x-4}<\frac{x+1998}{x-3}+\frac{x+1994}{x-5}\) Trừ \(2\) vào mỗi phân số ở vế trái và vế phải: \(\left(\frac{x+2000}{x-2}-2\right)+\left(\frac{x+1996}{x-4}-2\right)<\left(\frac{x+1998}{x-3}-2\right)+\left(\frac{x+1994}{x-5}-2\right)\) Quy đồng mỗi cặp phân số: \(\frac{x+2000-2(x-2)}{x-2}+\frac{x+1996-2(x-4)}{x-4}<\frac{x+1998-2(x-3)}{x-3}+\frac{x+1994-2(x-5)}{x-5}\) Rút gọn tử số: \(\frac{-x+2004}{x-2}+\frac{-x+2004}{x-4}<\frac{-x+2004}{x-3}+\frac{-x+2004}{x-5}\) Chuyển vế và đặt nhân tử chung: \((-x+2004)\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-5}\right)<0\) Xét các trường hợp: Trường hợp 1: \(-x+2004>0\implies x<2004\). Khi đó, biểu thức trong ngoặc phải âm: \(\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}\right)+\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}\right)<0\) \(\frac{-1}{(x-2)(x-3)}+\frac{-1}{(x-4)(x-5)}<0\) \(\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{1}{(x-4)(x-5)}>0\) Điều này luôn đúng khi các mẫu số xác định và dương. Trường hợp 2: \(-x+2004<0\implies x>2004\). Khi đó, biểu thức trong ngoặc phải dương: \(\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{1}{(x-4)(x-5)}<0\)

1. bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số: BCNN(3, 5, 2) = 30.
2. Nhân cả hai vế của bất phương trình với BCNN để loại bỏ mẫu số:\(30 \left(\right. \frac{x + 2}{3} + \frac{x + 5}{5} \left.\right) > 30 \left(\right. \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2} \left.\right)\)
3. Rút gọn:\(10 \left(\right. x + 2 \left.\right) + 6 \left(\right. x + 5 \left.\right) > 6 \left(\right. x + 3 \left.\right) + 15 \left(\right. x + 6 \left.\right)\)
4. Phân phối và kết hợp các số hạng tương tự:\(10 x + 20 + 6 x + 30 > 6 x + 18 + 15 x + 90\)\(16 x + 50 > 21 x + 108\)
5. Chuyển các số hạng chứa x về một vế và các số hạng không chứa x về vế còn lại:\(16 x - 21 x > 108 - 50\)\(- 5 x > 58\)
6. Chia cả hai vế cho -5 (lưu ý đổi chiều bất phương trình vì chia cho số âm):\(x < \frac{58}{- 5}\)\(x < - \frac{58}{5}\)\(x < - 11.6\)

Vậy, nghiệm của bất phương trình là \(x < - 11.6\).

b) Giải bất phương trình \(\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2 x - 1}{2017} + \frac{2 x - 3}{2015}\)

Để giải bất phương trình này, ta có thể biến đổi nó như sau:

\(\frac{x - 2}{1007} - 1 + \frac{x - 1}{1008} - 1 < \frac{2 x - 1}{2017} - 1 + \frac{2 x - 3}{2015} - 1\)

\(\frac{x - 2 - 1007}{1007} + \frac{x - 1 - 1008}{1008} < \frac{2 x - 1 - 2017}{2017} + \frac{2 x - 3 - 2015}{2015}\)

\(\frac{x - 1009}{1007} + \frac{x - 1009}{1008} < \frac{2 x - 2018}{2017} + \frac{2 x - 2018}{2015}\)

\(\frac{x - 1009}{1007} + \frac{x - 1009}{1008} < \frac{2 \left(\right. x - 1009 \left.\right)}{2017} + \frac{2 \left(\right. x - 1009 \left.\right)}{2015}\)

\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) < 2 \left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right)\)

\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) < 0\)

\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \left[\right. \left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) \left]\right. < 0\)

Nhận xét rằng \(\frac{1}{1007} > \frac{1}{1008}\) và \(\frac{1}{2017} < \frac{1}{2015}\). Ta có thể xấp xỉ \(\frac{1}{1007} \approx \frac{1}{1008} \approx \frac{1}{1000}\) và \(\frac{1}{2017} \approx \frac{1}{2015} \approx \frac{1}{2000}\).

Khi đó:
\(\left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) \approx \frac{2}{1000}\)
\(2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) \approx 2 \cdot \frac{2}{2000} = \frac{4}{2000} = \frac{2}{1000}\)

Vậy, \(\left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) \approx 0\). Tuy nhiên, để xác định dấu chính xác, ta cần tính toán cụ thể hơn.

Ta có:
\(\frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} = \frac{1008 + 1007}{1007 \cdot 1008} = \frac{2015}{1015056}\)
\(\frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} = \frac{2015 + 2017}{2017 \cdot 2015} = \frac{4032}{4064255}\)

\(\frac{2015}{1015056} - 2 \cdot \frac{4032}{4064255} = \frac{2015}{1015056} - \frac{8064}{4064255}\)

\(\approx 0.001985 - 0.001984 > 0\)

Do đó, \(\left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) > 0\).

Vậy bất phương trình trở thành:
\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \cdot \left(\right. \text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{d}ưo\text{ng} \left.\right) < 0\)
\(x - 1009 < 0\)
\(x < 1009\)

Vậy, nghiệm của bất phương trình là \(x < 1009\).

1. bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số: BCNN(3, 5, 2) = 30.
2. Nhân cả hai vế của bất phương trình với BCNN để loại bỏ mẫu số:\(30 \left(\right. \frac{x + 2}{3} + \frac{x + 5}{5} \left.\right) > 30 \left(\right. \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2} \left.\right)\)
3. Rút gọn:\(10 \left(\right. x + 2 \left.\right) + 6 \left(\right. x + 5 \left.\right) > 6 \left(\right. x + 3 \left.\right) + 15 \left(\right. x + 6 \left.\right)\)
4. Phân phối và kết hợp các số hạng tương tự:\(10 x + 20 + 6 x + 30 > 6 x + 18 + 15 x + 90\)\(16 x + 50 > 21 x + 108\)
5. Chuyển các số hạng chứa x về một vế và các số hạng không chứa x về vế còn lại:\(16 x - 21 x > 108 - 50\)\(- 5 x > 58\)
6. Chia cả hai vế cho -5 (lưu ý đổi chiều bất phương trình vì chia cho số âm):\(x < \frac{58}{- 5}\)\(x < - \frac{58}{5}\)\(x < - 11.6\)

Vậy, nghiệm của bất phương trình là \(x < - 11.6\).

b) Giải bất phương trình \(\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2 x - 1}{2017} + \frac{2 x - 3}{2015}\)

Để giải bất phương trình này, ta có thể biến đổi nó như sau:

\(\frac{x - 2}{1007} - 1 + \frac{x - 1}{1008} - 1 < \frac{2 x - 1}{2017} - 1 + \frac{2 x - 3}{2015} - 1\)

\(\frac{x - 2 - 1007}{1007} + \frac{x - 1 - 1008}{1008} < \frac{2 x - 1 - 2017}{2017} + \frac{2 x - 3 - 2015}{2015}\)

\(\frac{x - 1009}{1007} + \frac{x - 1009}{1008} < \frac{2 x - 2018}{2017} + \frac{2 x - 2018}{2015}\)

\(\frac{x - 1009}{1007} + \frac{x - 1009}{1008} < \frac{2 \left(\right. x - 1009 \left.\right)}{2017} + \frac{2 \left(\right. x - 1009 \left.\right)}{2015}\)

\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) < 2 \left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right)\)

\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. x - 1009 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) < 0\)

\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \left[\right. \left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) \left]\right. < 0\)

Nhận xét rằng \(\frac{1}{1007} > \frac{1}{1008}\) và \(\frac{1}{2017} < \frac{1}{2015}\). Ta có thể xấp xỉ \(\frac{1}{1007} \approx \frac{1}{1008} \approx \frac{1}{1000}\) và \(\frac{1}{2017} \approx \frac{1}{2015} \approx \frac{1}{2000}\).

Khi đó:
\(\left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) \approx \frac{2}{1000}\)
\(2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) \approx 2 \cdot \frac{2}{2000} = \frac{4}{2000} = \frac{2}{1000}\)

Vậy, \(\left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) \approx 0\). Tuy nhiên, để xác định dấu chính xác, ta cần tính toán cụ thể hơn.

Ta có:
\(\frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} = \frac{1008 + 1007}{1007 \cdot 1008} = \frac{2015}{1015056}\)
\(\frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} = \frac{2015 + 2017}{2017 \cdot 2015} = \frac{4032}{4064255}\)

\(\frac{2015}{1015056} - 2 \cdot \frac{4032}{4064255} = \frac{2015}{1015056} - \frac{8064}{4064255}\)

\(\approx 0.001985 - 0.001984 > 0\)

Do đó, \(\left(\right. \frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{1}{2017} + \frac{1}{2015} \left.\right) > 0\).

Vậy bất phương trình trở thành:
\(\left(\right. x - 1009 \left.\right) \cdot \left(\right. \text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{d}ưo\text{ng} \left.\right) < 0\)
\(x - 1009 < 0\)
\(x < 1009\)

Vậy, nghiệm của bất phương trình là \(x < 1009\).

Gọi \(x\) là số phút gọi trong một tháng.

• Gói cước A:
  Nếu \(x \leq 45\), cước phí gói A là 32 USD.
  Nếu \(x > 45\), cước phí gói A là \(32 + \left(\right. x - 45 \left.\right) \times 0 , 4\) USD.
• • Cước thuê bao hàng tháng: 32 USD
  • Số phút miễn phí: 45 phút
  • Cước phí cho mỗi phút thêm: 0,4 USD/phút
• Gói cước B:
  Cước phí gói B là \(44 + x \times 0 , 25\) USD.
• • Cước thuê bao hàng tháng: 44 USD
  • Số phút miễn phí: 0 phút
  • Cước phí cho mỗi phút thêm: 0,25 USD/phút

Để phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau, ta xét trường hợp \(x > 45\) vì nếu \(x \leq 45\), cước phí gói A là cố định 32 USD, trong khi cước phí gói B sẽ tăng theo \(x\). Do đó, sẽ không bao giờ bằng nhau khi \(x \leq 45\).

Phương trình xác định thời gian gọi \(x\) để phí hai gói cước bằng nhau là:
\(32 + \left(\right. x - 45 \left.\right) \times 0 , 4 = 44 + x \times 0 , 25\)

Giải phương trình:
\(32 + 0 , 4 x - 18 = 44 + 0 , 25 x\)
\(14 + 0 , 4 x = 44 + 0 , 25 x\)
\(0 , 4 x - 0 , 25 x = 44 - 14\)
\(0 , 15 x = 30\)
\(x = \frac{30}{0 , 15}\)
\(x = 200\)

Vậy, thời gian gọi là 200 phút thì phí phải trả trong một tháng của hai gói cước là như nhau.

b) Lựa chọn gói cước dựa trên số phút gọi

• Nếu khách hàng gọi tối đa 180 phút trong 1 tháng:
  So sánh: 86 USD (Gói A) < 89 USD (Gói B).
  Do đó, nên dùng Gói cước A.
• • Gói cước A:
    Vì 180 phút > 45 phút miễn phí, ta tính cước phí như sau:
    Cước phí A = 32 + (180 - 45) * 0,4
    Cước phí A = 32 + 135 * 0,4
    Cước phí A = 32 + 54
    Cước phí A = 86 USD
  • Gói cước B:
    Cước phí B = 44 + 180 * 0,25
    Cước phí B = 44 + 45
    Cước phí B = 89 USD
• Nếu khách hàng gọi 500 phút trong 1 tháng:
  So sánh: 214 USD (Gói A) > 169 USD (Gói B).
  Do đó, nên dùng Gói cước B.
• • Gói cước A:
    Vì 500 phút > 45 phút miễn phí, ta tính cước phí như sau:
    Cước phí A = 32 + (500 - 45) * 0,4
    Cước phí A = 32 + 455 * 0,4
    Cước phí A = 32 + 182
    Cước phí A = 214 USD
  • Gói cước B:
    Cước phí B = 44 + 500 * 0,25
    Cước phí B = 44 + 125
    Cước phí B = 169 USD

Tóm lại:

• Với 180 phút gọi/tháng, nên chọn Gói cước A.
• Với 500 phút gọi/tháng, nên chọn Gói cước B.