a) \(\frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005} + \frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006} < \frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007} + \frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 008}\)

\(\frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005} - 1 + \frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006} - 1 < \frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007} - 1 + \frac{x + 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 008} - 1\)

\(\frac{x - 1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005} + \frac{x - 1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006} - \frac{x - 1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007} - \frac{x - 1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 008} < 0\)

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005} + \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006} - \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007} - \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 008} \left.\right) < 0\)

\(x - 1 < 0\) do \(\frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 005} + \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 006} - \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 007} - \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 008} > 0\)

\(x < 1\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(x < 1\).

b) \(\frac{x - 2}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 002} + \frac{x - 4}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 000} < \frac{x - 3}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 001} + \frac{x - 5}{1 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 999}\)

\(\frac{x - 2}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 002} - 1 + \frac{x - 4}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 000} - 1 < \frac{x - 3}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 001} - 1 + \frac{x - 5}{1 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 999} - 1\)

\(\frac{x - 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 002} + \frac{x - 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 000} < \frac{x - 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 001} + \frac{x - 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004}{1 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 999}\)

\(\left(\right. x - 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 002} + \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 000} - \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 001} - \frac{1}{1 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 999} \left.\right) < 0\)

\(x - 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004\) do \(\frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 002} + \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 000} - \frac{1}{2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 001} - \frac{1}{1 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 999} < 0\)

\(x > 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004\).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(x > 2 \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; 004\)

c) \(\frac{x - a b}{a + b} + \frac{x - b c}{b + c} + \frac{x - a c}{a + c} > a + b + c\)

\(\frac{x - a b}{a + b} - c + \frac{x - b c}{b + c} - a + \frac{x - a c}{a + c} - b > 0\)

\(\frac{x - a b - a c - b c}{a + b} + \frac{x - b c - a b - a c}{b + c} + \frac{x - a c - b c - a b}{a + c} > 0\)

\(\left(\right. x - a b - a c - b c \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} \left.\right) > 0\)

\(x - a b - a c - b c > 0\) do \(a , \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; b , \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; c > 0 \Rightarrow \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} > 0\)

\(x > a b + a c + b c\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm \(x > a b + a c + b c\).

a) \(\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}\)

Cộng thêm \(1\) vào mỗi phân thức, ta có:

\(\frac{x + 2}{6} + 1 + \frac{x + 5}{3} + 1 > \frac{x + 3}{5} + 1 + \frac{x + 6}{2} + 1\)

\(\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} > \frac{x + 8}{5} + \frac{x + 8}{2}\)

\(\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0\)

\(\left(\right. x + 8 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \left.\right) > 0\)

\(x + 8 < 0\) vì \(\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} < 0\)

\(x < - 8\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x < - 8\)

b) \(\frac{x - 2}{1 007} + \frac{x - 1}{1 008} < \frac{2 x - 1}{2 017} + \frac{2 x - 3}{2 015}\)

Nhân thêm \(2\) cho cả tử và mẫu của mỗi phân thức vế trái, ta được:

\(\frac{2 x - 4}{2 014} + \frac{2 x - 2}{2 016} < \frac{2 x - 1}{2 017} + \frac{2 x - 3}{2 015}\)

Cộng thêm \(- 1\) vào mỗi phân thức, ta được:

\(\frac{2 x - 4}{2 014} - 1 + \frac{2 x - 2}{2 016} - 1 < \frac{2 x - 1}{2 017} - 1 + \frac{2 x - 3}{2 015} - 1\)

\(\frac{2 x - 2 018}{2 014} + \frac{2 x - 2 018}{2 016} < \frac{2 x - 2 018}{2 017} + \frac{2 x - 2 018}{2 015}\)

\(\frac{2 x - 2 018}{2 014} + \frac{2 x - 2 018}{2 016} - \frac{2 x - 2 018}{2 017} - \frac{2 x - 2 018}{2 015} < 0\)

\(\left(\right. 2 x - 2 018 \left.\right) \left(\right. \frac{1}{2 014} + \frac{1}{2 016} - \frac{1}{2 017} - \frac{1}{2 015} \left.\right) < 0\).

\(2 x - 2 018 < 0\) vì \(\frac{1}{2 014} + \frac{1}{2 016} - \frac{1}{2 017} - \frac{1}{2 015} > 0\)

\(x < 1 009\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x < 1 009\).

a) Gọi \(x\) (phút) là thời gian gọi trong một tháng (\(x > 0\)).

Theo bài, phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau, mà cước thuê bao hàng tháng của gói A nhỏ hơn gói B (\(32 < 44\)) nên thời gian gọi phải nhiều hơn \(45\) phút do tính thêm phí cho phút gọi thêm. Tức là \(x > 45\).

+ Đối với gói cước A:

Thời gian gọi thêm là: \(x - 45\) (phút);

Phí cần trả cho số phút gọi thêm là: \(0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right)\) (USD);

Phí phải trả cho hãng viễn thông là: \(T_{1} = 32 + 0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right)\) (USD).

+ Đối với gói cước B:

Phí cần trả cho x phút gọi là: \(0 , 25 x\) (USD);

Phí phải trả cho hãng viễn thông là: \(T_{2} = 44 + 0 , 25 x\) (USD).

Để phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau thì ta có phương trình sau: \(T_{1} = T_{2}\), hay

\(44 + 0 , 25 x = 32 + 0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right)\).

\(44 + 0 , 25 x = 32 + 0 , 4 x - 0 , 4.45\)

\(0 , 25 x - 0 , 4 x = 32 - 18 - 44\)

\(- 0 , 15 x = - 30\)

\(x = 200\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 45\)).

Vậy thời gian gọi mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước như nhau là \(200\) phút.

b) + Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là \(180\) phút trong \(1\) tháng, tức là \(x \leq 180\) thì:

\(x - 45 \leq 180 - 45\)

\(x - 45 \leq 135\)

\(0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right) \leq 54\)

\(32 + 0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right) \leq 32 + 54\)

Suy ra \(T_{1} \leq 86.\)

\(0 , 25 x \leq 45\)

\(44 + 0 , 25 x \leq 44 + 45\)

Suy ra \(T_{2} \leq 89\).

Khi đó, khách hàng chỉ gọi tối đa là \(180\) phút trong \(1\) tháng thì nên dùng gói cước A để mất chi phí rẻ hơn.

+ Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là \(500\) phút trong \(1\) tháng, tức là \(x \leq 500\) thì:

\(x - 45 \leq 500 - 45\)

\(x - \&\text{nbsp}; 45 \leq \&\text{nbsp}; 455\)

\(0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right) \leq 182\)

\(32 + 0 , 4. \left(\right. x - 45 \left.\right) \leq 32 + 182\)

Suy ra \(T_{1} \leq 214\).

\(0 , 25 x \leq 125\)

\(44 + 0 , 25 x \leq 44 + 125\)

Suy ra \(T_{2} \leq 169.\)

Khi đó, khách hàng chỉ gọi tối đa là \(500\) phút trong \(1\) tháng thì nên dùng gói cước B để mất chi phí rẻ hơn.

Các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số \(m\) vì:

a) \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\)

Ta có: \(m^{2} + \frac{1}{2} > 0\) với mọi \(m\) nên \(m^{2} + \frac{1}{2} \neq 0\) với mọi \(m\).

b) \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2 024\)

Ta có: \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) = - \left[\right. \left(\right. m + \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} \left]\right. < 0\) với mọi \(m\) nên \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) \neq 0\) với mọi \(m\).

Các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số \(m\) vì:

a) \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\)

Ta có: \(m^{2} + \frac{1}{2} > 0\) với mọi \(m\) nên \(m^{2} + \frac{1}{2} \neq 0\) với mọi \(m\).

b) \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2 024\)

Ta có: \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) = - \left[\right. \left(\right. m + \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} \left]\right. < 0\) với mọi \(m\) nên \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) \neq 0\) với mọi \(m\).