AEF. Theo định nghĩa trọng tâm, ta có các mối quan hệ vector sau:

2: Biểu diễn vector BE và FC qua trọng tâm G

Ta có thể biểu diễn các vector BE và FC như s

Sử dụng các mối quan hệ vector để chứng minh đẳng thức

Từ các mối quan hệ trọng tâm ở Bước 1, ta suy ra:

Thay các biểu thức này vào biểu thức của BE:

Thay các biểu thức này vào biểu thức của FC:

Do đó, BE và FC đều bằng vector

Đặt gốc tọa độ tại A(O, 0). Giả sử B(bx, b,) và

C(Cx, G,).

Vì D đối xứng với A qua B, ta có B là trung điểm

AD. Do đó, D(2bx, 2b,).

Vì E đôi xứng với B qua C, ta có C là trung điểm

BE. Do đó, E(2Cx - bx, 2C, - b).

Vì F đối xứng với C qua A, ta có A là trung điểm

CF. Do đo, F(-(xs-C,).

Miatrung damBc.nen m(오늘,오홀드).

N là trung điểm EF, nên

N

'2cx -bx -Cx

2c, -by-cy

Cx

b

= N

2

2

2

G là giao điểm của trung tuyển AM và DN.

bytc

Phong tinh duong thang AM:y= bs+cs

Phương trình đường thăng DN:

Sy-by

y- 26,=

2

- 2b,

c, -5b

(x-26,):

Cx

2

*- 26x

Cx-56x

Giao điểm G có tọa độ thỏa mãn cả hai phương

bx tCx

+ Cy

trình. G

(trọng tâm tam giác

3

3

ABC).

• AD là đường kính của đường tròn (O), suy ra
  <ABD = 90° và <ACD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• H là trực tâm tam giác ABC, suy ra BH L AC và CH L AB.
• Vì BH L AC và CD 1 AC, ta có BH || CD.
• Vì CH 1 AB và BD L AB, ta có CH || BD.
• Tứ giác BHCD có các cặp cạnh đối song song, nên BHCD là hình bình hành.

Chứng minh ĂH = B°C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

H là trực tâm. B' là điềm đôi xứng của B qua O, suy ra O là trung điểm của BB.

Ta có OB' = -ÔB và BB' = 20B'.

Vectơ ÁH = ỔH - ÓA.

Vecto B'C = ÕC - OB'.

Theo định lý Euler, ta có ÖH = ÓA + ÔB + ÕC.

Thay vào biểu thức của AH:

ÁH = (OA + ÖB + ÕC) - ÔA = ÖB + ÕC

Thay vào biểu thức của BC:

B'C = ÕC - (-ÔB) = OC + ÔB

Vậy ĂH = BC.

Trong hình bình hành ABCD, ta có ĂD = BC và

AD || BC.

N là trung điểm của AD, M là trung điểm của BC nên ĂN = ND =/ AD Và BM = NC = | BC.

Do đó, ÁN = MC và AN || MC. Tứ giác AMCN là hình bình hành. Vì AMCN là hình bình hành nên

AM = ÑC.

EF=CD

Hoặc EF=DA

các cặp vecto bằng nhau là: AB=DC, BC=AD, BA=CD,CB=DA,AO=OC,OA=CO,

BO=OD

OB=DO

AB=OC