1. Chứng minh AH song song với CK:
   • AH vuông góc với BD tại H, suy ra  ∠AHB=90∘∠𝐴𝐻𝐵=90∘.
   • CK vuông góc với BD tại K, suy ra  ∠CKD=90∘∠𝐶𝐾𝐷=90∘.
   • Vì cả AH và CK đều vuông góc với BD, nên AH song song với CK. 
2. Chứng minh AH bằng CK:
   • Xét tam giác vuông  ADH𝐴𝐷𝐻và tam giác vuông  CBK𝐶𝐵𝐾:
   • • AD=CB𝐴𝐷=𝐶𝐵(hai cạnh đối của hình bình hành ABCD). 
     • ∠ADH=∠CBK∠𝐴𝐷𝐻=∠𝐶𝐵𝐾(hai góc so le trong do  AD∥BC𝐴𝐷∥𝐵𝐶và BD là cát tuyến). 
   • Do đó,  △ADH=△CBK△𝐴𝐷𝐻=△𝐶𝐵𝐾(cạnh huyền - góc nhọn). 
   • Từ đó suy ra  AH=CK𝐴𝐻=𝐶𝐾(hai cạnh tương ứng). 
3. Kết luận:
   • Tứ giác AHCK có một cặp cạnh đối (AH và CK) song song và bằng nhau. 
   • Vậy, tứ giác AHCK là hình bình hành. 

1. Xác định tính chất của I:
   • Vì AHCK là hình bình hành (đã chứng minh ở phần a)), nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
   • Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong hình bình hành ABCD, O là trung điểm của BD. 
   • Vì I là trung điểm của HK (theo giả thiết), và O là trung điểm của AC (do AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường), nên O trùng với I. 
2. Kết luận:
   • Vì O là trung điểm của BD và O trùng với I, nên I là trung điểm của BD. 
   • Do đó,  IB=ID𝐼𝐵=𝐼𝐷. 

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Xét AABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng

GB

GC

tâm của AABC. Suy ra GM = -; GN =

(tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

2

2

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP = PB =

GB

2

(2)

GC

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC =

(3)

2

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ.

• Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên) Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi

đường nên là hình bình hành.

a.Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành