a, Xét : tam giác ADH và tam giác CBK

              góc AHD = góc CKB ( = 90 độ )

AD=BC ( ABCD là hình bình hành )

góc ADH = góc CBK ( 2 góc ở vị trí so le trong )

Suy ra : tam giác ADH =tam giác CBK ( C.H- G.N )\(\)

Xét tứ giác AHCK  có : AH//CK ( cùng vuông góc với BD )

                              AH = CK (cmt)

Suy ra : tứ giác AHCK là hình bình hành )

b) Từ a) : suy ra : AHCK là hình bình hành)

Suy ra : AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra : I cũng là trung điểm của AC.

Ta có : ABCD là hình bình hành

Suy ra : AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường .

Mà I là trung điểm của AC.

Suy ra : I cũng là trung điểm của BD.

Suy ra : IB=ID.\(\)

a, Ta có : tứ giac ABCD là hình bình hành

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra : tứ giác EBFD là hình bình hành

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : tứ giác EBFD là hình bình hành ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét tam giác ABG có

NA=NC; PB=PG suy ra PN là đường trung bình của tam giác ABG

Suy ra PN=1/2​AG (1)

suy ra PN//AG (2)

Xét tam giác ACG có

MA=MC; QC=QG suy ra QN là đường trung bình của tam giác ACG

suy ra QM=1/2​AG (3)

suy ra QM//AG (4)

Từ (2) và (4) suy ra PN//QM

Từ (1) và (3) suy ra PN =QM =1/2 AG

suy ra PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hình bình hành)

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b, Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF

Suy ra O cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM=góc OCN (hai góc so le trong).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

góc OAM=góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

góc AOM=góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a, vì ABCD là hình bình hành nên ta có :

AB = CD AB song song CD

Mà È lần lượt là trung điểm của AB và CD nên :

AE = EB = 1/2 AB ; CF = FD = 1/2CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF ( vì AB // CD )

  AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.