a) Vì AH, CK vuông góc với BD(gt) Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC;AD // BC Xét ΔADH và ΔCBK ta có:

ˆAHD=ˆCKB=90∘ (gt) AD=BC (cmt) ˆADH=ˆCBK (do AD // BC) Suy ra ΔADH=ΔCBK (ch-gn) Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng) Mà AH // CK (cmt) Suy ra AHCK là hình bình hành b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm. Mà I là trung điểm của HK. Suy ra I là trung điểm của AC. Ta lại có ABCDlà hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm. Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

a) Vì ABCD là hình bình hành (gt) Suy ra AD=BC; AD // BC Mà E, F là trung điểm của AD, BC (gt) Suy ra AE=ED=BF=FC Xét tứ giác EBFDta có:

ED=FB (cmt) ED // BF (do AD // BC) Suy ra EDFB là hình bìnhhành b) Vì ABCD là hình bình hành (gt) Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Mà DEBF là hình bình hành (gt) Suy ra O cũng là trung điểm của EF Suy ra E, O, F thẳng hàng

∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra G là trọng tâm của ∆

Vậy BG = 2/3 BM ; GM = 1/3 BM (1)

mà PG = 1/2 BG = 1/2.2/3 BM = 1/3 BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra GM = PG

CM tương tự ta cũng có QG = GB

Tứ giác PQMN có 2 đường chéo QN và PM Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

nên tứ giác PQMN là HBH

a, Đó ABCD là HBH nên AB // CD,CD = AB

Suy ra AE // DF , AE = 2AB = DF.

VẬY AEFD là hình bình hành

Tương tự,tứ giác ABCD có các cạnh đối song song và bằng nhau

Nên ABFC là HBH

b, Vì AEFD là HBH nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là HBH nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy ba trung điểm của AF,DE,BC trùng nhau

ABCD là hình bình hành nên AO = CO , BO = DO

Xét ∆OAM và ∆OCN có :

^OAM = ^OCN ( 2 góc sole trong)

^AOM=^CON ( 2 góc đối đỉnh)

AO = CO

Nên ∆OAM = ∆OCN ( g.c.c)

Suy ra OM = ON

Ta có : OM = ON , BO = DO

Nên tứ giác MBND có 2 đường chéo MN, BD cắt nhau tại Trung điểm mỗi đường

Nên MBND là hình bình hành

a, Đó ABCD là hình bình hành nên AB // CD , AB = CD

Từ đó AE // CF , AE = EB = CF = FC

do đó AEFD là hình bình hành

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành

Vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau

b, Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên AD = EF

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC