Xét tứ giác \(A E F D\):

Ta sẽ chứng minh \(A E F D\) là hình bình hành bằng cách chỉ ra rằng hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• \(E\) là trung điểm của \(A B\)
• \(F\) là trung điểm của \(C D\)

Vì \(A B \parallel C D\) và bằng nhau (do \(A B C D\) là hình bình hành), nên đoạn \(E F\) nối trung điểm của hai cạnh đối song song và bằng nhau, suy ra:

👉 \(E F \parallel A D\) và \(E F = \frac{1}{2} \left(\right. A B + C D \left.\right) = A D\)

Mặt khác, ta có:

• \(A E\) là nửa đoạn \(A B\)
• \(F D\) là nửa đoạn \(D C\)
• \(A B \parallel D C \Rightarrow A E \parallel F D\) và \(A E = F D\)

Vậy:

• \(A E \parallel F D\), \(A E = F D\)
• \(E F \parallel A D\), \(E F = A D\)

=> Tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A E C F\):

Tương tự:

• \(E\) là trung điểm \(A B\), nên \(A E = E B\)
• \(F\) là trung điểm \(C D\), nên \(F C = F D\)

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên:

• \(A B \parallel C D \Rightarrow A E \parallel F C\), vì là các đoạn tương ứng trên hai cạnh song song
• \(A E = F C\)

=> Tứ giác \(A E C F\) có hai cạnh đối song song và bằng nhau → là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E F = A D\), \(A F = E C\)

(i) Chứng minh \(E F = A D\):

Như đã chỉ ra trong phần trên:

• \(E , F\) là trung điểm của \(A B\) và \(C D\), mà \(A B C D\) là hình bình hành
• \(\Rightarrow A B \parallel C D \Rightarrow E F \parallel A D\)
• \(Đ\text{o}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{n} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{song}\&\text{nbsp};\text{song}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \hat{\text{e}} \text{n}:\&\text{nbsp}; E F = A D\)

✅ Vậy \(E F = A D\)

(ii) Chứng minh \(A F = E C\):

• Trong hình bình hành \(A B C D\), ta có: \(A D = B C\), \(A D \parallel B C\)
• \(E\) là trung điểm \(A B\), \(F\) là trung điểm \(C D\)
• Tam giác \(A B D\): nối trung điểm \(E\) của \(A B\) và trung điểm \(F\) của \(C D\), ta được đoạn \(A F\)

Tương tự, trong tam giác \(C D B\), đoạn \(E C\) cũng nối hai trung điểm.

Dễ thấy rằng tam giác \(A B D\) và \(C D B\) đối xứng nhau qua đường chéo \(A C\), nên hai đoạn thẳng \(A F\) và \(E C\) bằng nhau và song song.

=> ✅ AF = EC

✅ Kết luận:

a) Hai tứ giác \(A E F D\) và \(A E C F\) là hình bình hành.
b) \(E F = A D\), \(A F = E C\)