a)Ta có hai đỉnh A, C đối nhau trong hình bình hành, nên AC cắt BD tại trung điểm O của cả hai đường chéo.

Đường AH và CK đều vuông góc với BD, nên chúng song song với nhau.

→ Đây chính là mấu chốt để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Xét tứ giác AHCK:

• Ta có AH \parallel CK vì cùng vuông góc với BD.
• Trong hình bình hành ABCD, hai cạnh AD và BC song song. Mà A và C là hai đỉnh thuộc hai cạnh đó ⇒ AC song song với HK (ta sẽ chứng minh ngay sau).

Hai tam giác vuông AHO và CKO (có O là giao điểm của hai đường chéo):

• AH \perp BD, CK \perp BD,
• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.

Vì A, O, C thẳng hàng và H, O, K cùng nằm trên BD,

→ Hai đoạn AC và HK cắt nhau tại O và nằm trên hai đường song song (đều vuông góc với cùng BD).

⟹ AC \parallel HK.

Hai cặp cạnh đối AH \parallel CK và AC \parallel HK.

⇒ Tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)Ta dễ dàng tính được tổng tham số t_H+t_K. Thay công thức ở trên:

t_H+t_K =\frac{(-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})+\mathbf{d}\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})} {\|\mathbf{d}-\mathbf{b}\|^2} =\frac{\|\mathbf{d}-\mathbf{b}\|^2}{\|\mathbf{d}-\mathbf{b}\|^2}=1.

Vậy t_H+t_K=1.

Trung điểm I của HK có vectơ vị trí

\vec{I}=\frac{\vec{H}+\vec{K}}{2} =\vec{B}+\frac{t_H+t_K}{2}\,\vec{u} =\mathbf{b}+\tfrac12\vec{u}.

Nhưng \vec{u}=\mathbf{d}-\mathbf{b}, nên

\vec{I}=\mathbf{b}+\tfrac12(\mathbf{d}-\mathbf{b})=\tfrac12(\mathbf{b}+\mathbf{d}).

Do đó

\vec{I}-\vec{B}=\tfrac12(\mathbf{b}+\mathbf{d})-\mathbf{b}=\tfrac12(\mathbf{d}-\mathbf{b})=\tfrac12\vec{u},

\vec{D}-\vec{I}=\mathbf{d}-\tfrac12(\mathbf{b}+\mathbf{d})=\tfrac12(\mathbf{d}-\mathbf{b})=\tfrac12\vec{u}.

Hai véc-tơ \vec{I}-\vec{B} và \vec{D}-\vec{I} bằng nhau, nên

IB=\|\,\vec{I}-\vec{B}\,\|=\|\,\vec{D}-\vec{I}\,\|=ID.

Vậy I cách đều B và D, tức IB=ID.

a)Tính các véc-tơ cạnh:

\overrightarrow{EB}=\vec{B}-\vec{E}=\mathbf{b}-\frac{\mathbf{d}}{2},

\overrightarrow{FD}=\vec{D}-\vec{F}=\mathbf{d}-\Big(\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}\Big)=-\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}=-\big(\mathbf{b}-\tfrac{\mathbf{d}}{2}\big).

Vậy \overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{EB} ⇒ EB\parallel FD và EB=FD.

Tiếp,

\overrightarrow{BF}=\vec{F}-\vec{B}=\Big(\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}\Big)-\mathbf{b}=\frac{\mathbf{d}}{2},

\overrightarrow{ED}=\vec{D}-\vec{E}=\mathbf{d}-\frac{\mathbf{d}}{2}=\frac{\mathbf{d}}{2}.

Vậy \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{ED} ⇒ BF\parallel ED và BF=ED.

Hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ EBFD là hình bình hành.

b)Giao điểm hai đường chéo O là trung điểm của AC, nên

\vec{O}=\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}=\frac{\mathbf{0}+(\mathbf{b}+\mathbf{d})}{2}=\frac{\mathbf{b}}{2}+\frac{\mathbf{d}}{2}.

Ta có

\vec{O}-\vec{E}=\Big(\frac{\mathbf{b}}{2}+\frac{\mathbf{d}}{2}\Big)-\frac{\mathbf{d}}{2}=\frac{\mathbf{b}}{2},

\vec{F}-\vec{O}=\Big(\mathbf{b}+\frac{\mathbf{d}}{2}\Big)-\Big(\frac{\mathbf{b}}{2}+\frac{\mathbf{d}}{2}\Big)=\frac{\mathbf{b}}{2}.

Vì \vec{O}-\vec{E} và \vec{F}-\vec{O} là cùng một véc-tơ (tỉ lệ dương), nên E, O, F thẳng hàng và O ở giữa E và F. Hơn thế nữa \vec{O}=\tfrac{\vec{E}+\vec{F}}{2}, nên O là trung điểm của EF.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nên

\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}.

Đặt \vec{G}=\vec{0} làm gốc. Khi đó

\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{A}=-(\vec{B}+\vec{C}).

Tính tọa độ (véc-tơ vị trí) các điểm:

• M là trung điểm AC nên
  \vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}=\frac{-(\vec{B}+\vec{C})+\vec{C}}{2}=-\frac{\vec{B}}{2}.
• N là trung điểm AB nên
  \vec{N}=\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}=\frac{-(\vec{B}+\vec{C})+\vec{B}}{2}=-\frac{\vec{C}}{2}.
• P là trung điểm GB và \vec{G}=\vec{0} nên
  \vec{P}=\frac{\vec{G}+\vec{B}}{2}=\frac{\vec{B}}{2}.
• Q là trung điểm GC nên
  \vec{Q}=\frac{\vec{G}+\vec{C}}{2}=\frac{\vec{C}}{2}.

Bây giờ xét hai cạnh đối của tứ giác PQMN:

Tính véctơ \overrightarrow{MQ} và \overrightarrow{PN}:

\overrightarrow{MQ}=\vec{Q}-\vec{M}=\frac{\vec{C}}{2}-\Big(-\frac{\vec{B}}{2}\Big)=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2},

\overrightarrow{PN}=\vec{N}-\vec{P}=-\frac{\vec{C}}{2}-\frac{\vec{B}}{2}=-\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}.

Do đó \overrightarrow{PN}=-\overrightarrow{MQ}. Vậy hai cạnh PN và MQ bằng nhau và ngược chiều ⇒ chúng song song và có cùng độ dài (tức PN\parallel MQ và PN=MQ).

Tương tự, tính hai cạnh kia:

\overrightarrow{PM}=\vec{M}-\vec{P}=-\frac{\vec{B}}{2}-\frac{\vec{B}}{2}=-\vec{B},

\overrightarrow{QN}=\vec{N}-\vec{Q}=-\frac{\vec{C}}{2}-\frac{\vec{C}}{2}=-\vec{C}.

Với \vec{B} và \vec{C} là hai vectơ độc lập, ta có theo đối xứng trên rằng hai cặp cạnh đối đều song song và bằng nhau (thực ra từ \overrightarrow{PM}=-\vec B và \overrightarrow{QN}=-\vec C và các quan hệ trước có thể dùng để kết luận cặp cạnh đối còn lại cũng bằng nhau theo cách tương tự).

Kết luận: tứ giác PQMN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ PQMN là hình bình hành.

a) Ta biểu diễn các vectơ theo \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}.

Vì ABCD là hình bình hành ⇒

\vec{B} = \vec{A} + \vec{b}, \quad \vec{D} = \vec{A} + \vec{d}, \quad \vec{C} = \vec{A} + \vec{b} + \vec{d}.

Trong đó \vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}.

Ta có:

\vec{E} = 2\vec{B} - \vec{A} = 2(\vec{A} + \vec{b}) - \vec{A} = \vec{A} + 2\vec{b},

\vec{F} = 2\vec{C} - \vec{D} = 2(\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{d}) = \vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}.

Xét tứ giác AEFD:

\overrightarrow{AE} = \vec{E} - \vec{A} = 2\vec{b},

⇒ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DF}.

Tiếp,

\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \vec{d}, \quad \overrightarrow{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + 2\vec{b}) = \vec{d}.

⇒ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EF}.

→ Hai cặp cạnh đối bằng và song song ⇒ AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC:

\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \vec{b},

\overrightarrow{FC} = \vec{C} - \vec{F} = (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) = -\vec{b}.

→ AB ∥ FC và AB = FC.

Tiếp,

\overrightarrow{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d} - \vec{A} = 2\vec{b} + \vec{d},

\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{d}.

Tuy nhiên ta thấy AF và BC không cùng hướng, vậy cần kiểm tra cặp còn lại:

\overrightarrow{BF} = \vec{F} - \vec{B} = (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{b} + \vec{d},

\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \vec{b} + \vec{d}.

⇒ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}.

Vì \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{FC} và \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC} ⇒ ABFC là hình bình hành.

Tính trung điểm từng đoạn theo vectơ:

Trung điểm I_1 của AF:

\vec{I_1} = \frac{\vec{A} + \vec{F}}{2} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

Trung điểm I_2 của DE:

\vec{I_2} = \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2} = \frac{(\vec{A} + \vec{d}) + (\vec{A} + 2\vec{b})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

Trung điểm I_3 của BC:

\vec{I_3} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{A} + \vec{b}) + (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

⇒ \vec{I_1} = \vec{I_2} = \vec{I_3}

⟹ Ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Ta biểu diễn các vectơ theo \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}.

Vì ABCD là hình bình hành ⇒

\vec{B} = \vec{A} + \vec{b}, \quad \vec{D} = \vec{A} + \vec{d}, \quad \vec{C} = \vec{A} + \vec{b} + \vec{d}.

Trong đó \vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}.

Ta có:

\vec{E} = 2\vec{B} - \vec{A} = 2(\vec{A} + \vec{b}) - \vec{A} = \vec{A} + 2\vec{b},

\vec{F} = 2\vec{C} - \vec{D} = 2(\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{d}) = \vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}.

Xét tứ giác AEFD:

\overrightarrow{AE} = \vec{E} - \vec{A} = 2\vec{b},

⇒ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DF}.

Tiếp,

\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \vec{d}, \quad \overrightarrow{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + 2\vec{b}) = \vec{d}.

⇒ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EF}.

→ Hai cặp cạnh đối bằng và song song ⇒ AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC:

\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \vec{b},

\overrightarrow{FC} = \vec{C} - \vec{F} = (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) = -\vec{b}.

→ AB ∥ FC và AB = FC.

Tiếp,

\overrightarrow{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d} - \vec{A} = 2\vec{b} + \vec{d},

\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{d}.

Tuy nhiên ta thấy AF và BC không cùng hướng, vậy cần kiểm tra cặp còn lại:

\overrightarrow{BF} = \vec{F} - \vec{B} = (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{b} + \vec{d},

\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \vec{b} + \vec{d}.

⇒ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}.

Vì \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{FC} và \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC} ⇒ ABFC là hình bình hành.

Tính trung điểm từng đoạn theo vectơ:

Trung điểm I_1 của AF:

\vec{I_1} = \frac{\vec{A} + \vec{F}}{2} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

Trung điểm I_2 của DE:

\vec{I_2} = \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2} = \frac{(\vec{A} + \vec{d}) + (\vec{A} + 2\vec{b})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

Trung điểm I_3 của BC:

\vec{I_3} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{A} + \vec{b}) + (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

⇒ \vec{I_1} = \vec{I_2} = \vec{I_3}

⟹ Ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Ta biểu diễn các vectơ theo \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}.

Vì ABCD là hình bình hành ⇒

\vec{B} = \vec{A} + \vec{b}, \quad \vec{D} = \vec{A} + \vec{d}, \quad \vec{C} = \vec{A} + \vec{b} + \vec{d}.

Trong đó \vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}.

Ta có:

\vec{E} = 2\vec{B} - \vec{A} = 2(\vec{A} + \vec{b}) - \vec{A} = \vec{A} + 2\vec{b},

\vec{F} = 2\vec{C} - \vec{D} = 2(\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{d}) = \vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}.

Xét tứ giác AEFD:

\overrightarrow{AE} = \vec{E} - \vec{A} = 2\vec{b},

⇒ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DF}.

Tiếp,

\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \vec{d}, \quad \overrightarrow{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + 2\vec{b}) = \vec{d}.

⇒ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EF}.

→ Hai cặp cạnh đối bằng và song song ⇒ AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC:

\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \vec{b},

\overrightarrow{FC} = \vec{C} - \vec{F} = (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) = -\vec{b}.

→ AB ∥ FC và AB = FC.

Tiếp,

\overrightarrow{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d} - \vec{A} = 2\vec{b} + \vec{d},

\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{d}.

Tuy nhiên ta thấy AF và BC không cùng hướng, vậy cần kiểm tra cặp còn lại:

\overrightarrow{BF} = \vec{F} - \vec{B} = (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{A} + \vec{b}) = \vec{b} + \vec{d},

\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \vec{b} + \vec{d}.

⇒ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC}.

Vì \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{FC} và \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AC} ⇒ ABFC là hình bình hành.

Tính trung điểm từng đoạn theo vectơ:

Trung điểm I_1 của AF:

\vec{I_1} = \frac{\vec{A} + \vec{F}}{2} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + 2\vec{b} + \vec{d})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

Trung điểm I_2 của DE:

\vec{I_2} = \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2} = \frac{(\vec{A} + \vec{d}) + (\vec{A} + 2\vec{b})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

Trung điểm I_3 của BC:

\vec{I_3} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{A} + \vec{b}) + (\vec{A} + \vec{b} + \vec{d})}{2} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}.

⇒ \vec{I_1} = \vec{I_2} = \vec{I_3}

⟹ Ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì O là trung điểm của AC, ta có:

OA = OC(1)

Đường thẳng MN đi qua O, cắt AB và CD — mà AB ∥ CD (tính chất hình bình hành).

Do đó:

\angle OAM = \angle ONC

vì hai góc này là so le trong tạo bởi cặp đường song song AB ∥ CD và cát tuyến MN.(2)

Tiếp theo, do AB ∥ CD ⇒ đường thẳng qua O cắt hai cạnh song song ấy tạo hai cặp góc bằng nhau, đồng thời:

\angle OMA = \angle ONC

cũng đúng theo tính chất so le trong.

Từ (1) và (2), ta thấy hai tam giác có:

• OA = OC
• Góc tại O chung (\angle AOM = \angle CON)
• Và một cặp góc khác bằng nhau (so le trong)

⇒ \triangle OAM = \triangle OCN (theo g.g.g hoặc c.g.c, tùy cách trình bày).

Ta biết:

• Hai tam giác OAM và OCN bằng nhau ⇒ OM/ON = tỉ lệ tương ứng và \overrightarrow{OA} \parallel \overrightarrow{OC}, …
• Do đó: AM/ CN có quan hệ song song, cụ thể:
  
• • Vì M ∈ AB và N ∈ CD, mà AB ∥ CD ⇒ MN song song với BD.

Nhưng ta biết trong hình bình hành AB ∥ CD và AD ∥ BC.

Từ tam giác bằng nhau, ta suy ra:

\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{ND}

⇒ Hai cạnh đối của tứ giác MBND song song và bằng nhau.

Vì O là trung điểm của AC, ta có:

OA = OC(1)

Đường thẳng MN đi qua O, cắt AB và CD — mà AB ∥ CD (tính chất hình bình hành).

Do đó:

\angle OAM = \angle ONC

vì hai góc này là so le trong tạo bởi cặp đường song song AB ∥ CD và cát tuyến MN.(2)

Tiếp theo, do AB ∥ CD ⇒ đường thẳng qua O cắt hai cạnh song song ấy tạo hai cặp góc bằng nhau, đồng thời:

\angle OMA = \angle ONC

cũng đúng theo tính chất so le trong.

Từ (1) và (2), ta thấy hai tam giác có:

• OA = OC
• Góc tại O chung (\angle AOM = \angle CON)
• Và một cặp góc khác bằng nhau (so le trong)

⇒ \triangle OAM = \triangle OCN (theo g.g.g hoặc c.g.c, tùy cách trình bày).

Ta biết:

• Hai tam giác OAM và OCN bằng nhau ⇒ OM/ON = tỉ lệ tương ứng và \overrightarrow{OA} \parallel \overrightarrow{OC}, …
• Do đó: AM/ CN có quan hệ song song, cụ thể:
  
• • Vì M ∈ AB và N ∈ CD, mà AB ∥ CD ⇒ MN song song với BD.

Nhưng ta biết trong hình bình hành AB ∥ CD và AD ∥ BC.

Từ tam giác bằng nhau, ta suy ra:

\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{ND}

⇒ Hai cạnh đối của tứ giác MBND song song và bằng nhau.