a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét tg ABG có

NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tg ABG

\(\Rightarrow P N = \frac{1}{2} A G\) (1)

=> PN//AG (2)

Xét tg ACG có

MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tg ACG

\(\Rightarrow Q M = \frac{1}{2} A G\) (3)

=> QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow P N = Q M = \frac{1}{2} A G\)

=> PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Làm bài 2:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (cmt).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF ( cmt).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: NM//BC và \(N M = \frac{B C}{2} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Xét ΔGBC có 

E là trung điểm của GB

F là trung điểm của GC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: EF//BC và \(E F = \frac{B C}{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra NM//FE và NM=FE

hay NMFE là hình bình hành

a: Ta có: \(A E = E B = \frac{A B}{2}\)

\(D F = F C = \frac{D C}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)

nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AEFD có

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: AEFD là hình bình hành

=>AD=FE

AECF là hình bình hành

=>AF=CE