Ta có:

AH ⊥ BD, CK ⊥ BD ⇒ AH // CK (1)

∆ABH và ∆CDK có:

ˆAHB=ˆCKD (= 90°)

ˆABH=ˆCDK (2 góc so le trong)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

⇒ ∆ABH = ∆CDK (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CK (2)

Từ (1), (2) ⇒ tứ giác AHCK là hình bình hành.  

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

bài 4:

Vì P là trung điểm của BM nên BP=1/2PM

Vì Q là trung điểm của CN nên CQ=1/2QN

Suy ra PG=MG và QG=GN

Vì hai đường thẳng cắt nhau tại G nên tứ giác QMNP là hbh(hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

bài3:

a) Vì AB=DC (gt) mà AB=BE (gt) nên AB=BF=DC=CF

Vậy AB+BE=DC+CF suy ra tứ giác AEFD là hbh

Xét tam giác ACD và BFE ta có:

AD=EF(cmt)

DC=BE(cmt)

Góc ADC= góc BEF(cmt)

Vậy tam giác ACD= tam giác BFE (c-g-c)

Vì ACD=BFE nên AC=BF(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tứ giác ABFC là hbh

b) gọi O là giao điểm của hai đường chéo AF và DE

Vì AF cũng là đường chéo của hbh ABFC nên O là giao điểm của BC và AF

suy ra các trung điểm của AF,CN,DE trùng nhau

bài 2:

Xét tam giác OAM và tam giác OCN ta có:

AO=OC(gt)

BO=OD(gt)

góc AOM= góc NOC ( hai góc đối đỉnh )

Vậy tứ giác OAM tam giác OCN (c-g-c)

Vì tam giác AMO= tam giác ONC nên OM= ON

O là giao điểm của đường chéo AC,BD nên O là trung điểm của DB vậy OD= OB

Đường thẳng MN đi qua O và OM= ON nên O là trung điểm của MN

Tứ giác MBND có hai đường chéo là DB và NM

O là trung điểm của MN và DB

Suy ra tứ giác MBND là hbh (hai đường chéo cách nhau tại trung điểm mỗi đường).

bài1

a) Xét tứ giác AEFD có AE=DF nên AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF ta có AE=1/2 DC= CF vậy AECF là hình bình hành

b)

Xét hình bình hành AEFD nên AD=EF (cmt)

Xét hbh AECF nên AF=EC (cmt).

Life in the countryside has many things that I really like. The air is fresh, the scenery is beautiful, and people live close to nature. It is quiet and peaceful, so I always feel relaxed when I stay there. Neighbors are kind and friendly, and they are always willing to help each other. However, there are also some things that I dislike. The countryside does not have many schools, hospitals, or entertainment places. Sometimes life can feel boring and inconvenient. Still, I think the countryside is a lovely place to live.