A) vì AH , CK vuông góc với BD (gt)

Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD = BC ; AD // BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK ta có :

Đỉnh ADH = Đỉnh CKB = 90 (gt)

AD = BD (cmt)

Đỉnh ADH = đỉnh CKB ( do AD // BC )

Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK (ch-gn)

Suy ra AH = CK ( hai cạnh tương ứng )

Mà AH // CK (cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành b) vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm

Mà I là trung điểm của HK

Suy ra I là trung điểm của AC

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

a) vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD = BC ; AD // BC

Mà E,F là trung điểm của AD , BC (gt)

Suy ra AE = ED = BF = FC

Xét tứ giác EBFD ta có :

ED = FB (cmt)

ED // BF ( Do AD // BC )

Suy ra EDFB là hình bình hành

B) vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm AC và BD

Mà EDBF là hình bình hành (gt)

Suy ra O cũng là trung điểm của EF

Suy ra E,O,F thẳng hàng

a) do ABCD là hình bình hành nên AB // CD , AB = CD ,từ đó AE // CF ,AE = EB = DF = FC

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tương tự , tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau .

B) vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC

Vì P, lần lượt là trung điểm của GB ,GC nên PQ là đường trung bình của tam giác GBC , suy ra PQ // BC và PQ = 1/2 BC

Vì M, N là trung điểm của AC , AB lên MN là đường trung bình của tam giác ABC , suy ra MN // BC và MN = 1/2 BC

Do đó , PQ // MN và PQ và MN

Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành

a) vì ABCD là hình bình hành , AB // CD và AB = CD . Do B là trung điểm của AE , suy ra AB = BE .tương tự , vì C là trung điểm của DF , suy ra CD = CF . Từ đó ,BE // CD . Do đó AEFD là hình bình hành (vì AE // DF và AE = DF ). Tương tự , ABFC là hình bình hành ( vì AB // CF và AB = CF ).

B) gọi O là giao điểm của AF và DE . Vì AEFD là hình bình hành , O là trung điểm của AF và DE . Vì ABFD là hình bình hành , O cũng là trung điểm của BC . Vậy , trung điểm của AF ,DE,BC trùng nhau .

Chứng minh tam giác OAM = tam giác OCN

OA=OC ( tính chất hình bình hành )

Góc OAM = góc OCN ( sole trong )

Góc AOM = CON (đối đỉnh )

Vậy tam giác OAM = tam giác OCN ( g.c.g )

Chứng minh MBND là hình bình hành

AM = ( do tam giác OAM = tam giác OCN )

MB // ND và MB = ND (do AB // và AB = CD )

Vậy MBND là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết )

Kết luận tam giác OAM = tam giác OCN .tứ giác MBND là hình bình hành .