Câu 19.

Đề bài: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O t h\), trong đó \(t\)(giây) là thời gian kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) (m) là độ cao của quả bóng so với mặt sân cỏ. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1 m. Sau đó 1 giây quả bóng đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, quả bóng đạt độ cao 6 m. Hỏi độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là

Vì quỹ đạo là một cung Parabol, phương trình biểu diễn độ cao \(h\) theo thời gian \(t\) có dạng: \(h = a t^{2} + b t + c \left(\right. a < 0 \left.\right)\)

Ta sử dụng các điều kiện đã cho để tìm \(a , b , c\):

1. Tại thời điểm ban đầu (\(t = 0\)), độ cao là 1 m:\(h \left(\right. 0 \left.\right) = a \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + b \left(\right. 0 \left.\right) + c = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c = 1\)
2. Sau 1 giây (\(t = 1\)), độ cao là 8,5 m:\(h \left(\right. 1 \left.\right) = a \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + b \left(\right. 1 \left.\right) + 1 = 8.5\)\(a + b = 8.5 - 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a + b = 7.5 \left(\right. * 1 \left.\right)\)
3. Sau 2 giây (\(t = 2\)), độ cao là 6 m:\(h \left(\right. 2 \left.\right) = a \left(\right. 2 \left.\right)^{2} + b \left(\right. 2 \left.\right) + 1 = 6\)\(4 a + 2 b = 6 - 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 a + 2 b = 5 \left(\right. * 2 \left.\right)\)

Bây giờ ta giải hệ phương trình gồm \(\left(\right. * 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. * 2 \left.\right)\): \(\left{\right. a + b = 7.5 \\ 4 a + 2 b = 5\)

Nhân phương trình \(\left(\right. * 1 \left.\right)\) với 2: \(2 a + 2 b = 15 \left(\right. * 3 \left.\right)\). Lấy \(\left(\right. * 2 \left.\right)\) trừ đi \(\left(\right. * 3 \left.\right)\): \(\left(\right. 4 a + 2 b \left.\right) - \left(\right. 2 a + 2 b \left.\right) = 5 - 15\)\(2 a = - 10 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = - 5\)

Thay \(a = - 5\) vào \(\left(\right. * 1 \left.\right)\): \(- 5 + b = 7.5 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b = 7.5 + 5 = 12.5\)

Vậy phương trình quỹ đạo của quả bóng là: \(h \left(\right. t \left.\right) = - 5 t^{2} + 12.5 t + 1\)

Độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được tương ứng với đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh (thời điểm đạt độ cao cực đại) là \(t_{m a x}\): \(t_{m a x} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{12.5}{2 \left(\right. - 5 \left.\right)} = - \frac{12.5}{- 10} = 1.25 \&\text{nbsp};(\text{gi} \hat{\text{a}} \text{y})\)

Độ cao cao nhất \(h_{m a x}\) đạt được tại \(t = 1.25\): \(h_{m a x} = h \left(\right. 1.25 \left.\right) = - 5 \left(\right. 1.25 \left.\right)^{2} + 12.5 \left(\right. 1.25 \left.\right) + 1\)\(h_{m a x} = - 5 \left(\right. 1.5625 \left.\right) + 15.625 + 1\)\(h_{m a x} = - 7.8125 + 15.625 + 1\)\(h_{m a x} = 7.8125 + 1 = 8.8125 \&\text{nbsp};(\text{m} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t})\)

Kết luận: Độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là 8.8125 mét.

Phương trình tổng quát của đường tròn (C) có tâm \(I \left(\right. a ; b \left.\right)\) và bán kính \(R\) là: \(\left(\right. x - a \left.\right)^{2} + \left(\right. y - b \left.\right)^{2} = R^{2}\)

Theo đề bài, tâm của đường tròn là \(I \left(\right. 7 ; 2 \left.\right)\), nên \(a = 7\) và \(b = 2\). Phương trình đường tròn có dạng: \(\left(\right. x - 7 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = R^{2}\)

Bán kính \(R\) của đường tròn chính là khoảng cách từ tâm \(I \left(\right. 7 ; 2 \left.\right)\) đến tiếp tuyến \(d : 3 x + 4 y - 9 = 0\).

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M \left(\right. x_{0} ; y_{0} \left.\right)\) đến đường thẳng \(A x + B y + C = 0\) là: \(d = \frac{\mid A x_{0} + B y_{0} + C \mid}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\)

Áp dụng cho \(I \left(\right. 7 ; 2 \left.\right)\) và đường thẳng \(3 x + 4 y - 9 = 0\) (\(A = 3 , B = 4 , C = - 9\)): \(R = \frac{\mid 3 \left(\right. 7 \left.\right) + 4 \left(\right. 2 \left.\right) - 9 \mid}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}\)\(R = \frac{\mid 21 + 8 - 9 \mid}{\sqrt{9 + 16}}\)\(R = \frac{\mid 20 \mid}{\sqrt{25}}\)\(R = \frac{20}{5} = 4\)

Vậy bán kính \(R = 4\), suy ra \(R^{2} = 4^{2} = 16\).

Phương trình của đường tròn (C) là: \(\left(\right. x - 7 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 16\)

Để giải bất phương trình \(x^{2} - 2 x - 1 < 0\), ta xét phương trình bậc hai tương ứng: \(x^{2} - 2 x - 1 = 0\)

Ta tính biệt thức \(\Delta\): \(\Delta = b^{2} - 4 a c = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 1 \left.\right) = 4 + 4 = 8\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2 a} = \frac{- \left(\right. - 2 \left.\right) - \sqrt{8}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{2 - 2 \sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}\)\(x_{2} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2 a} = \frac{- \left(\right. - 2 \left.\right) + \sqrt{8}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}\)

Vì hệ số \(a = 1 > 0\), parabol \(y = x^{2} - 2 x - 1\)có bề lõm hướng lên trên (mở lên trên). Do đó, \(x^{2} - 2 x - 1 < 0\) khi và chỉ khi \(x\) nằm giữa hai nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left(\right. 1 - \sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2} \left.\right)\)