Sau năm 1975, Việt Nam tiếp tục kiên quyết đấu tranh bảo vệ chủ quyền biển, đảo thiêng liêng của Tổ quốc. Nhà nước ta khẳng định và thực thi chủ quyền đối với hai quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa bằng nhiều biện pháp như quản lí hành chính, xây dựng và củng cố lực lượng quốc phòng trên biển. Đồng thời, Việt Nam kiên trì đấu tranh bằng biện pháp hòa bình, dựa trên luật pháp quốc tế để giải quyết các tranh chấp. Bên cạnh đó, ta cũng tăng cường phát triển kinh tế biển, nâng cao đời sống nhân dân vùng ven biển và hải đảo, góp phần giữ vững chủ quyền quốc gia.

Từ năm 1991 đến nay, Trung Quốc có bước phát triển kinh tế – xã hội rất nhanh và mạnh mẽ. Nền kinh tế tăng trưởng cao liên tục, quy mô ngày càng lớn, trở thành một trong những nền kinh tế hàng đầu thế giới. Cơ cấu kinh tế chuyển dịch theo hướng hiện đại, giảm tỉ trọng nông nghiệp, tăng mạnh công nghiệp và dịch vụ. Trung Quốc đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa, phát triển nhiều ngành công nghiệp như điện tử, chế tạo máy, công nghệ cao và xuất khẩu hàng hóa ra toàn cầu. Bên cạnh đó, thương mại quốc tế phát triển mạnh, Trung Quốc trở thành “công xưởng của thế giới”.

Về xã hội, đời sống người dân được cải thiện rõ rệt, tỉ lệ hộ nghèo giảm nhanh, hệ thống giáo dục và y tế được nâng cao. Quá trình đô thị hóa diễn ra nhanh chóng, nhiều thành phố lớn, hiện đại được hình thành. Tuy nhiên, Trung Quốc cũng phải đối mặt với một số vấn đề như ô nhiễm môi trường, chênh lệch giàu nghèo và áp lực dân số.

Xét biệt thức:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\)

Với
\(a = 1 , \textrm{ }\textrm{ } b = m + 2 , \textrm{ }\textrm{ } c = 2 m\)

\(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m\) \(= m^{2} + 4 m + 4 - 8 m\) \(= m^{2} - 4 m + 4\) \(= \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta > 0\) \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} > 0\) \(m \neq 2\)

Kết luận:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \neq 2\).

\(m\)

Theo hệ thức Viète:

x1 + x2 = -b/a

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. m + 2 \left.\right)\) \(x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(m\)

Từ:

\(x_{1} x_{2} = 2 m\) \(m = \frac{x_{1} x_{2}}{2}\)

Thay vào:

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. \frac{x_{1} x_{2}}{2} + 2 \left.\right)\)

Nhân 2 hai vế:

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - x_{1} x_{2} - 4\)

Chuyển vế:

\(x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 = 0\)

Kết quả

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \neq 2\).
• Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc \(m\) là:

\(\boxed{x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 = 0}\)

Theo Viète:

⇒

Do hai nghiệm hoán vị cho nhau nên giá trị biểu thức bằng nhau.

Kết luận

Theo Viète:

x1 + x2 = -b/a

Với phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\)

\(x_{1} + x_{2} = - 2024\) \(x_{1} x_{2} = 2\)

Với phương trình \(x^{2} + 2025 x + 2 = 0\)

\(x_{3} + x_{4} = - 2025\) \(x_{3} x_{4} = 2\)

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\)

Nhóm lại:

\(A = \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left]\right. \cdot \left[\right. \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) \left]\right.\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\)

Thay Viète:

\(= x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2\)

Nhưng \(x_{1}\) là nghiệm của:

\(x_{1}^{2} + 2024 x_{1} + 2 = 0\)

⇒

\(x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2\) \(= - 4049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\) \(= x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\) \(= x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2\)

Vì \(x_{2}^{2} + 2024 x_{2} + 2 = 0\)

⇒

\(x_{2}^{2} = - 2024 x_{2} - 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2\) \(= x_{2}\)

\(A = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \left(\right. x_{2} \left.\right)\) \(A = - 4049 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\) \(x_{1} x_{2} = 2\)

⇒

\(A = - 4049 \cdot 2\) \(A = - 8098\)

Kết quả

\(A = - 8098\)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Xét biệt thức Δ:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\)

Với:

• \(a = 1\)
• \(b = - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\)
• \(c = 2 m - 2\)

Ta có:

\(\Delta = \left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 8 m + 8\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 - 2 m + 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right)\)

Vì \(m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên:

\(\Delta > 0 \forall m\)

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính \(B\)

Ta có:

\(B = x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của (1) nên:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) \(x_{1}^{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - 2 m + 2\)

Thay vào \(B\):

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - 2 m + 2 + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\) \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\)

Theo Viète:

x1 + x2 = -b/a

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\)

Thay vào:

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \cdot 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(B = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

Kết quả:

a) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b)

\(B = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

Xét phương trình bậc hai \(a x^{2} + b x + c = 0\).

x1 * x2 = c/a

Với phương trình đã cho:

• \(a = 1\)
• \(b = - m\)
• \(c = - 1\)

Theo hệ thức Viète:

\(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{1} = - 1\)

Vì \(x_{1} x_{2} = - 1 < 0\) nên hai nghiệm của phương trình luôn trái dấu.

Ngoài ra:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c = m^{2} + 4 > 0\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Tính giá trị của biểu thức

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

Rút gọn từng phân thức:

\(\frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} = x_{1} + 1 - \frac{1}{x_{1}}\) \(\frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}} = x_{2} + 1 - \frac{1}{x_{2}}\)

Do đó:

\(A = \left(\right. x_{1} + 1 - \frac{1}{x_{1}} \left.\right) - \left(\right. x_{2} + 1 - \frac{1}{x_{2}} \left.\right)\) \(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} \left.\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} x_{2}}\)

Mà \(x_{1} x_{2} = - 1\)

\(\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} = x_{1} - x_{2}\)

Suy ra:

\(A = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) = 0\)

Kết quả:

• a) Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
• b) \(A = 0\).

a)

\(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0.\)

Xét hệ số của \(x\): \(m^{2} + \frac{1}{2}\). Vì \(m^{2} \geq 0\) nên

\(m^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; m \in \mathbb{R} .\)

Vì hệ số khác \(0\), đây là bất phương trình bậc nhất theo \(x\). Ta có thể chia hai vế cho số dương \(m^{2} + \frac{1}{2}\) mà không đổi chiều bất phương trình:

\(x \leq \frac{1}{m^{2} + \frac{1}{2}} .\)

Kết luận (a): là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi \(m\), nghiệm \(x \leq \frac{1}{m^{2} + \frac{1}{2}}\).

b)

\(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024.\)

Xét \(A = m^{2} + m + 2\). Định thức của tam thức bậc hai \(m^{2} + m + 2\) là \(\Delta = 1 - 8 = - 7 < 0\), nên

\(m^{2} + m + 2 > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; m \in \mathbb{R} .\)

Do đó \(A > 0\) và hệ số \(- A\) của \(x\) là khác \(0\) (âm) cho mọi \(m\). Vậy đây cũng là bất phương trình bậc nhất theo \(x\).

Nhân cả hai vế với \(- 1\) (đảo chiều bất phương trình):

\(A x \geq m - 2024.\)

Chia cho \(A > 0\):

\(x \geq \frac{m - 2024}{m^{2} + m + 2} .\)

Kết luận (b): là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi \(m\), nghiệm \(x \geq \frac{m - 2024}{\textrm{ } m^{2} + m + 2 \textrm{ }}\).

Tóm tắt: cả hai đều là bất phương trình bậc nhất theo \(x\) với mọi \(m\). Nghiệm:

\((\text{a})\&\text{nbsp}; x \leq \frac{1}{m^{2} + \frac{1}{2}} , (\text{b})\&\text{nbsp}; x \geq \frac{m - 2024}{m^{2} + m + 2} .\)