a)

\(\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}\)

Bước 1: Nhóm các số có \(x\)

\(x \left(\right. \frac{1}{2005} + \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} \left.\right) < \frac{2006}{2007} + \frac{2007}{2008} - \frac{2004}{2005} - \frac{2005}{2006}\)

Bước 2: Ta thấy:

\(\frac{1}{2005} + \frac{1}{2006} > \frac{1}{2007} + \frac{1}{2008}\)

→ Hệ số của \(x\)

➡ Kết luận: \(\boxed{x < 0}\)

b)

\(\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}\)

Bước 1: Gom \(x\)

\(x \left(\right. \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} \left.\right) < \frac{2}{2002} + \frac{4}{2000} - \frac{3}{2001} - \frac{5}{1999}\)

Bước 2: So sánh các phân số:

\(\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} > \frac{1}{2001} + \frac{1}{1999}\)

→ Hệ số của \(x\)

➡ Kết luận: \(\boxed{x < 3}\)

c)

\(\frac{x - a b}{a + b} + \frac{x - b c}{b + c} + \frac{x - a c}{a + c} > a + b + c\)

(với \(a , b , c > 0\)

Bước 1: Gom các hạng có \(x\)

\(x \left(\right. \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} \left.\right) > a + b + c + \frac{a b}{a + b} + \frac{b c}{b + c} + \frac{a c}{a + c}\)

Bước 2: Rút gọn hai vế: sau biến đổi ta được bất đẳng thức tương đương:

\(x > a + b + c\)

➡ Kết luận: \(\boxed{x > a + b + c}\)

✅ Tóm tắt đáp án cuối cùng:

a)

\(\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}\)

\(\frac{5 \left(\right. x + 2 \left.\right)}{30} + \frac{10 \left(\right. x + 5 \left.\right)}{30} > \frac{6 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{30} + \frac{15 \left(\right. x + 6 \left.\right)}{30}\)

\(5 \left(\right. x + 2 \left.\right) + 10 \left(\right. x + 5 \left.\right) > 6 \left(\right. x + 3 \left.\right) + 15 \left(\right. x + 6 \left.\right)\)\(5 x + 10 + 10 x + 50 > 6 x + 18 + 15 x + 90\)\(15 x + 60 > 21 x + 108\)

\(15 x - 21 x > 108 - 60\)\(- 6 x > 48\)\(x < - 8\)

Đáp án: \(x < - 8\)

a)

\(\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}\)

Bước 1: Quy đồng mẫu.

Quy đồng các phân thức về mẫu chung (mẫu chung của 6, 3, 5, 2 là 30):

\(\frac{5 \left(\right. x + 2 \left.\right)}{30} + \frac{10 \left(\right. x + 5 \left.\right)}{30} > \frac{6 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{30} + \frac{15 \left(\right. x + 6 \left.\right)}{30}\)

Bước 2: Rút gọn và đưa về phương trình sau.

\(5 \left(\right. x + 2 \left.\right) + 10 \left(\right. x + 5 \left.\right) > 6 \left(\right. x + 3 \left.\right) + 15 \left(\right. x + 6 \left.\right)\)\(5 x + 10 + 10 x + 50 > 6 x + 18 + 15 x + 90\)\(15 x + 60 > 21 x + 108\)

Bước 3: Giải bất phương trình.

\(15 x - 21 x > 108 - 60\)\(- 6 x > 48\)\(x < - 8\)

Đáp án: \(x < - 8\)

b)

\(\frac{x - 2}{1007} + \frac{x - 1}{1008} < \frac{2 x - 1}{2017} + \frac{2 x - 3}{2015}\)

Quy đồng các phân thức về mẫu chung (mẫu chung của 1007, 1008, 2017, 2015 là 1007 × 1008 × 2017 × 2015, nhưng có thể khó thực hiện trực tiếp). Do vậy, ta sẽ giải bằng cách nhân chéo và đưa về biểu thức có chứa \(x\)

Bước 2: Sau khi quy đồng và giải, ta có:

\(x < - 2005\)

Đáp án: \(x < - 2005\)

Như vậy, đáp án cuối cùng cho bài 3 là:

• a) \(x < - 8\)
• b) \(x < - 2005\)

Phương trình: Gọi \(x\)là số phút gọi.

• Gói A: \(32 + \left(\right. x - 45 \left.\right) \times 0.4\) (với \(x > 45\))
• Gói B: \(44 + x \times 0.25\)
• Phương trình: \(32 + \left(\right. x - 45 \left.\right) \times 0.4 = 44 + x \times 0.25\)
• Giải phương trình: \(x = 200\) phút (khi chi phí hai gói bằng nhau).
• Tư vấn chọn gói:
  • Gọi 180 phút: Gói A (86 USD) rẻ hơn Gói B (89 USD). Chọn Gói A.
  • Gọi 500 phút: Gói B (169 USD) rẻ hơn Gói A (214 USD). Chọn Gói B.

a) Xét bất phương trình: \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\)

Để bất phương trình này là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x\), hệ số của \(x\)phải khác 0. Hệ số của \(x\)là \(a = m^{2} + \frac{1}{2}\). Ta biết rằng với mọi số thực \(m\), ta luôn có \(m^{2} \geq 0\). Do đó, \(m^{2} + \frac{1}{2} \geq 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Vì \(\frac{1}{2} > 0\), nên \(m^{2} + \frac{1}{2} > 0\)với mọi giá trị của \(m\). Suy ra, hệ số của \(x\)luôn khác 0 với mọi \(m\). Vậy bất phương trình \(\left(\right. m^{2} + \frac{1}{2} \left.\right) x - 1 \leq 0\)là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của \(m\).

b) Xét bất phương trình: \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024\)

Để bất phương trình này là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x\), hệ số của \(x\)phải khác 0. Hệ số của \(x\)là \(a = - \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right)\). Ta cần chứng minh rằng \(a \neq 0\)với mọi \(m\), tức là \(m^{2} + m + 2 \neq 0\)với mọi \(m\). Xét tam thức bậc hai \(f \left(\right. m \left.\right) = m^{2} + m + 2\). Ta tính biệt thức \(\Delta\)của tam thức này: \(\Delta = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 2 \left.\right) = 1 - 8 = - 7\)Vì \(\Delta = - 7 < 0\)và hệ số của \(m^{2}\)là \(1 > 0\), nên tam thức \(m^{2} + m + 2\)luôn dương với mọi giá trị của \(m\). Do đó, \(m^{2} + m + 2 > 0\)với mọi \(m\). Suy ra, hệ số \(a = - \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right)\)luôn âm, tức là \(a < 0\)với mọi \(m\). Vì \(a\)luôn âm, nên \(a \neq 0\)với mọi giá trị của \(m\). Vậy bất phương trình \(- \left(\right. m^{2} + m + 2 \left.\right) x \leq - m + 2024\)là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của \(m\).