a) Chứng minh AD = BC

xét ∆ OAD và ∆ OCB có:

OA = OC (gt)

Góc O chung

OD = OB ( gt)

Suy ra ∆OAD =∆ OCB (c.g.c)

Suy ra AD=BC.

b) chứng minh ∆ABE = ∆CDE

Ta có: AB=OA-OB và CD = OC- OD mà OA=OC, OB = OD suy ra AB = CD.

Từ câu a: góc OAD = góc OCB và góc ODA = góc OBC suy ra góc CDE = gócABE (cùng bù với hai góc bằng nhau).

Suy ra ∆ ABE =∆CDE ( g.c.g) vì góc A bằng góc C, AB=CD, góc B=góc D.

c )chứng minh OE nạp tia phân giác của góc xOy

Xét ∆OBE và ∆ ODE có:

OB=OD (gt)

OE chung.

BE=DE ( do ∆ ABE = ∆ CDE)

Suy ra ∆OBE=∆ODE (c.c.c) suy ra góc BOE= góc DOE.

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy.

a) Chứng minh ∆ IOE và ∆ IOF

Xét hai tam giác vuông ∆ IOE (tại E) và ∆IOF ( tại F):

OI là cạnh huyền chung

Góc EOI = góc FOI (vì Om là tia phân giác của góc xOy).

Suy ra ∆ IOE=∆ IOF (cạnh huyền-góc nhọn).

b) chứng minh EF= Om

Từ ∆IOE=∆IOF suy ra OE=OF

suy ra ∆ OEF cân tại O

Trong tam giác cân OEF, tia phân giác Om của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao

Vậy EF vuông góc với Om

Vì góc BAC=120° nên góc ngoài tại đỉnh A của ∆ ABD bằng 60°. Mà góc DAC= 1/2 góc BAC =60°, nên AC là tia phân giác ngoài tại đỉnh A của ∆ ABD.

I là giao điểm của tia phân giác ngoài tại D(DI) và tia phân giác ngoài tại A(AC) của ∆ ABD.

suy ra I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc B của ∆ ABD . Theo tính chất tâm đường tròn bàng tiếp, I cách đều hai đường thẳng AB và BC .

Suy ra IH = IK.

1. Xét điểm D

D thuộc tia phân giác của góc A. suy ra DH=DK (khoảng cách từ D đến hai cạnh AB,AC)

D thuộc đường trung trực của BC suy ra DB = DC .

2. Xét hai tam giác vuông ∆DHB và ∆DKC

Có cảnh Huyền DB = DC( CM trên)

Có cạnh góc vuông DH=DK(CM trên)

Suy ra ∆DHB=∆DKC(cạnh huyền-cạnh góc vuông).

3. Kết luận : BH = CK( hai cạnh tương ứng).

Vì BE và CF là hai đường trung tuyến bằng nhau nên ∆ABC cân tại A.

Gọi M là trung điểm của BC . trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, suy ra AM vuông góc với BC .

Vì G là trọng tâm nên A,G,M thẳng hàng. Vậy AG vuông góc với BC.

a) chứng minh BG = GM và CG= GN

Vì M thuộc tia DB sao cho DM =DG nên D là trung điểm của GM.

Khi đó: GM=GĐ+DM= 2GD. Mà BG =2GD nên BG =GM.

Vì M thuộc tia đối của tia EG sao cho EN= nên E là trung điểm của GN.

Khi đó: GN= GE + EN =2 GE. Mà CG =2 GE nên CG = GN.

b) chứng minh MN=BC và MN// BC

Xét ∆ GBC và ∆ GMN có:

BG =GM (CM trên).

Góc GBC= góc MGN (hai góc đối đỉnh).

CG =GN( CM trên)

Suy ra ∆ GBC=∆GMN (c.g.c)

Suy ra góc GBC= góc GMN (hai góc tương ứng). Vì hai góc này ở vị trí so le trong nênMN//BC.

a) chứng minh G là trọng tâm của ∆ EFC.

Trong ∆EFC, EK là đường trung tuyến ( do K là trung điểm CF)

BE=2ED suy ra BD =3ED . Theo đề bài, F thuộc tia đối của tia DE và BF=2BE=4ED.

Suy ra DF=BF -BD = 4ED - 3ED =ED. Do đó D là trung điểm của FE nên CD là đường trung tuyến thứ hai của ∆ EFC.

Vì G là giao điểm của EK và AC mà (AC chứa D), nên G là giao điểm của hai đường trung tuyến EK và CD.

Vậy G là trọng tâm của tam giác EFC.

b) tính các tỉ số

Dựa vào tính chất trọng tâm trong tam giác EFC:

GE/GK=2 (trọng tâm cách đình bằng 2 lần cách trung điểm cảnh đối diện).

GC/DC= 2/3 (trọng tâm cách đình bằng 2/3 độ dài trung tuyến ).

a)Chứng minh BD = CE

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

AB = AC (GT).

Góc A chung .

AD = AE (do D,E lần lượt là trung điểm của hai cạnh bằng nhau AC và AB.)

Suy ra ∆ABD=∆ACE (c.g.c).

Suy ra BD =CA.

b) Chứng minh ∆GBC cân .

Vì ∆ABD =∆ACE, (CM trên) nên góc ABD =góc ACE

Mà ∆ABC cân tại A nên góc ABC = góc ACB.

Ta có:

Góc GBC = góc ABC-ABD.

Góc GCB=góc ACB-góc ACE

Suy ra góc GBC=gócGCB. Do đó ∆GBC cân tại G .

c) chứng minh GD+GE >1/2 BC

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên :

GĐ =1/2 GB và GE = 1/2 GC ( đó GĐ =1/3 BD, GB = 2/3 BD).

Chồng ∆GBC , theo bất đẳng thức tam giác ta có:

GB+GC>BC.

Thấy GB =2GD và GC = 2GE vào:

2GD+2GE>BC.

Suy ra 2 ( GĐ+GE)>BC suy ra GD+GE> 1/2BC (đpcm).

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên gờ là trọng tâm của ∆ ABC. Theo t/c trọng tâm, ta có:

BG = 2/3 BM và CG=2/3 CN.

Theo bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại:

BG+CG>BC.

2/3 BM+2/3 CN>BC.

2/3( BM+CN) >BC.

BM + CN > 2/3 BC( đpcm).

a) Chứng minh ba điểm A,G,E thẳng hàng

Trong ∆ ABD , E là trung điểm của BD (GT).

Suy ra AE là cạnh trung tuyến ứng với cạnh BD của ∆ABD.

Mà G là trọng tâm của ∆ABD ( chứng minh ở trên) .

Trọng tâm của một tam giác luôn nằm trên các đường trung tuyến của tam giác đó.

Nên G phải thuộc đường trung tuyến AE.

Vậy ba điểm A,E,G thẳng hàng.

∆ABD , M là trung điểm của AB.

Khi đó DM là đường trung tuyến ứng với cạnhAB của ∆ ABD.

Vì G là trọng tâm của ∆ABD, lên đường trung tuyến DM phải đi qua điểm G.

Điều này có nghĩa là ba điểm D,G,M thằng hàng, hay đường thẳng DG chính là đường thẳng chứa trung tuyến DM.

Vậy đường thẳng DG đi qua trung điểmM của cạnhAB.