a) Vận động viên 𝐴 A : Khoảng biến thiên

2 =2, Độ lệch chuẩn

0 , 7 =0,7. Vận động viên 𝐵 B : Khoảng biến thiên

5 =5, Độ lệch chuẩn ≈ 1 , 64 ≈1,64. b) Vì khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn về thành tích của vận động viên 𝐴 A đều nhỏ hơn của vận động viên 𝐵 B nên dựa trên các tiêu chí này ta có thể kết luận vận động viên 𝐴 A có thành tích ổn định hơn.

Điểm thi thấp nhất là \(0\) , cao nhất là \(10\) . Do đó, khoảng biến thiên là \(10 - 0 = 10\).
Hầu hết các bạn trong lớp có điểm \(5 , 6 , 7\) vì vậy dùng khoảng biến thiên để đo độ phân tán của dãy số liệu này sẽ không hợp lí.

a) Với dãy số liệu về nhiệt độ trung bình các tháng tại Hà Nội:
Giá trị nhỏ nhất là \(16 , 4\) .
Giá trị lớn nhất là \(28 , 9\).
Khoảng biến thiên là: \(R = 28 , 9 - 16 , 4 = 12 , 5\).
Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm:
Trung vị là \(Q_{2} = \left(\right. 23 , 7 + 24 , 6 \left.\right) : 2 = 24 , 15\).

Nửa dữ liệu bên trái \(Q_{2}\) là:
   \(16 , 4\)    \(17 , 0\)    \(18 , 2\)    \(20 , 2\)    \(21 , 4\)    \(23 , 7\)
Do đó, \(Q_{1} = \left(\right. 18 , 2 + 20 , 2 \left.\right) : 2 = 19 , 2\).
Nửa dữ liệu bên phải \(Q_{2}\) là:
   \(24 , 6\)    \(27 , 2\)    \(27 , 3\)    \(28 , 2\)    \(28 , 8\)    \(28 , 9\) 
Do đó, \(Q_{3} = \left(\right. 27 , 3 + 28 , 2 \left.\right) : 2 = 27 , 75\).
Khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: \(\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 27 , 75 - 19 , 2 = 8 , 55\).

Số trung bình của mẫu số liệu là: \(\overset{ˉ}{x} = \frac{16 , 4 + 17 , 0 + \ldots + 18 , 2}{12} \approx 23 , 49\).
Độ lệch chuẩn:
\(s_{1} = \sqrt{\frac{\left(\right. 16 , 4 - 23 , 49 \left.\right)^{2} + \ldots + \left(\right. 18 , 2 - 23 , 49 \left.\right)^{2}}{12}} \approx 4 , 52\).
Làm tương tự với dãy số liệu về nhiệt độ trung bình cho các tháng tại Thành phố Hồ Chí Minh ta có:
Khoảng biến thiên: \(R = 3 , 2\).
Khoảng tứ phân vị là: \(\Delta_{Q} = 27 , 7 - 26 , 55 = 1 , 15\).
Độ lệch chuẩn \(s_{2} = 0 , 91\).

b) Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của dãy số liệu về nhiệt độ trung bình các tháng tại Thành phố Hồ Chí Minh đều nhỏ hơn các số đặc trưng này tại Hà Nội nên ta khẳng định rằng nhiệt độ trung bình các tháng ở Thành phố Hồ Chí Minh it biến động hơn.

Cho tam giác \(A B C\) có trung tuyên \(A M\). Gọi \(I\) là trung điếm của \(A M\) và \(K\) là điếm trên cạnh \(A C\) sao cho \(A K = \frac{1}{3} A C\). Chứng minh rằng ba điểm \(B , I , K\) thẳng hàng. Ta có \(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{B M} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right)\)

Hướng dẫn giải:

\(= \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{B C} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B K} + \overset{\rightarrow}{K A} \left.\right) + \frac{1}{4} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B K} + \overset{\rightarrow}{K C} \left.\right) = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{K A} + \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{K C}\)
Mà \(A K = \frac{1}{3} A C\) nên \(K C = 2 K A\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{K C} = - 2 \overset{\rightarrow}{K A} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{K C} + 2 \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{K C} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{K A} = \overset{\rightarrow}{0} .\)
Do đó \(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K} + \overset{\rightarrow}{0} = \frac{3}{4} \overset{\rightarrow}{B K}\). Vậy ba điểm \(B , I , K\) thẳng hàng.

Cho tứ giác \(A B C D\). Gọi hai điểm \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điêm của các đoạn \(A D , B C\).

a) Chứng minh rằng \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(M N\). Chứng minh rằng: \(\overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} + \overset{\rightarrow}{I D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

- Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{B N} + \overset{\rightarrow}{C N} = \overset{\rightarrow}{0}\).
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\left{\right. \overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B N} \\ \overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M D} + \overset{\rightarrow}{D C} + \overset{\rightarrow}{C N}\) \(\Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{M N} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M D} \left.\right) + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} + \left(\right. \overset{\rightarrow}{B N} + \overset{\rightarrow}{C N} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{C D} .\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) .\)

- Chứng minh \(\frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right) .\) \(\left{\right. \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{C B} = \overset{\rightarrow}{D B} = \overset{\rightarrow}{C D} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} + \overset{\rightarrow}{C B} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \Rightarrow .\)

Vậy: \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right)\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(M N\). Chứng minh rằng: \(\overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} + \overset{\rightarrow}{I D} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Áp dụng hệ thức trung điểm, ta có:

\(\left{\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \overset{\rightarrow}{I M} \\ \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \overset{\rightarrow}{I N} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I D} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{I M} + \overset{\rightarrow}{I N} \left.\right) = \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; 2. \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

a) \(\overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B D} = \overset{\rightarrow}{A D} + \overset{\rightarrow}{B C} = 2 \overset{\rightarrow}{E F}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} + \overset{\rightarrow}{G D} = \overset{\rightarrow}{0}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B D} = \overset{\rightarrow}{A D} + \overset{\rightarrow}{B C} = 2 \overset{\rightarrow}{E F}\)

- \(\overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B D} = 2 \overset{\rightarrow}{E F} \left(\right. 1 \left.\right)\).
Do \(E\) là trung điểm \(A B\) nên \(2 \overset{\rightarrow}{O E} = \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B}\) với \(O\) là một điểm tùy ý.

Do \(F\) là trung điểm \(C D\) nên \(2 \overset{\rightarrow}{O F} = \overset{\rightarrow}{O C} + \overset{\rightarrow}{O D}\) với \(O\) là một điểm tùy ý.

(1) \(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{O C} - \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O D} - \overset{\rightarrow}{O B} = 2 \overset{\rightarrow}{O F} - 2 \overset{\rightarrow}{O E}\)
\(& \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{O C} - \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O D} - \overset{\rightarrow}{O B} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{O C} + \overset{\rightarrow}{O D} \left.\right) - \left(\right. \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B} \left.\right) \\ & \Leftrightarrow \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O C} - \overset{\rightarrow}{O C}}} \left.\right) + \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O D} - \overset{\rightarrow}{O D}}} \left.\right) - \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O B} - \overset{\rightarrow}{O B}}} \left.\right) + \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O A} - \overset{\rightarrow}{O A}}} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \&\text{nbsp};Đ\text{PCM}.\&\text{nbsp};\)
\(\overset{\rightarrow}{A D} + \overset{\rightarrow}{B C} = 2 \overset{\rightarrow}{E F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Do \(E\) là trung điểm \(A B\) nên \(2 \overset{\rightarrow}{O E} = \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B}\) với \(O\) là một điểm tùy ý.

Do \(F\) là trung điểm \(C D\) nên \(2 \overset{\rightarrow}{O F} = \overset{\rightarrow}{O C} + \overset{\rightarrow}{O D}\) với \(O\) là một điểm tùy ý.

\(\left(\right. 2 \left.\right) \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{O D} - \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O C} - \overset{\rightarrow}{O B} = 2 \overset{\rightarrow}{O F} - 2 \overset{\rightarrow}{O E}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{O D} - \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O C} - \overset{\rightarrow}{O B} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{O C} + \overset{\rightarrow}{O D} \left.\right) - \left(\right. \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B} \left.\right)\)
\(\Leftrightarrow \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O C} - \overset{\rightarrow}{O C}}} \left.\right) + \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O D} - \overset{\rightarrow}{O D}}} \left.\right) - \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O B} - \overset{\rightarrow}{O B}}} \left.\right) + \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{O A} - \overset{\rightarrow}{O A}}} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \&\text{nbsp};Đ\text{PCM}.\&\text{nbsp};\)
b) \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} + \overset{\rightarrow}{G D} = \overset{\rightarrow}{0}\) (3).

Do \(E\) là trung điểm \(A B\) nên \(2 \overset{\rightarrow}{O E} = \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B}\) với \(O\) là một điểm tùy ý.

Do \(F\) là trung điểm \(C D\) nên \(2 \overset{\rightarrow}{O F} = \overset{\rightarrow}{O C} + \overset{\rightarrow}{O D}\) với \(O\) là một điểm tùy ý.

\(\left(\right. 3 \left.\right) \Leftrightarrow \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{G E} - \overset{\rightarrow}{G B} \left.\right) + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} + \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{G F} - \overset{\rightarrow}{G C} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow 2 \overset{\rightarrow}{G E} + 2 \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 2 \left(\right. \underset{\overset{\rightarrow}{0}}{\underbrace{\overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F}}} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \&\text{nbsp};Đ\text{PCM}.\&\text{nbsp};\)