a,

Do \(K\) là trung điểm của \(B C\) và là trung điểm của \(M A^{'}\):

\(\overset{\rightarrow}{K A^{'}} = - \overset{\rightarrow}{K M} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A^{'} A} + \overset{\rightarrow}{A M} = 2 \overset{\rightarrow}{A K}\)

Tương tự:

\(\overset{\rightarrow}{B^{'} B} + \overset{\rightarrow}{B M} = 2 \overset{\rightarrow}{B I}\) \(\overset{\rightarrow}{C^{'} C} + \overset{\rightarrow}{C M} = 2 \overset{\rightarrow}{C J}\)

Cộng ba đẳng thức:

\(\left(\right. \overset{\rightarrow}{A^{'} A} + \overset{\rightarrow}{B^{'} B} + \overset{\rightarrow}{C^{'} C} \left.\right) + \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{B M} + \overset{\rightarrow}{C M} \left.\right) = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{A K} + \overset{\rightarrow}{B I} + \overset{\rightarrow}{C J} \left.\right)\)

Vế phải bằng \(\overset{\rightarrow}{0}\) ⇒ tồn tại điểm \(N\) sao cho:

\(\overset{\rightarrow}{N A} + \overset{\rightarrow}{N A^{'}} = \overset{\rightarrow}{N B} + \overset{\rightarrow}{N B^{'}} = \overset{\rightarrow}{N C} + \overset{\rightarrow}{N C^{'}}\)

⇒ \(A A^{'} , B B^{'} , C C^{'}\) đồng quy tại \(N\).

b,

Từ kết quả trên:

\(\overset{\rightarrow}{G N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{G M} \left.\right)\)

hay:

\(\overset{\rightarrow}{G M} + \overset{\rightarrow}{G N} = \overset{\rightarrow}{0}\)

⇒ \(G\) là trung điểm của đoạn \(M N\)

\(\)=> MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{A A^{'}} = k \overset{\rightarrow}{A B} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A^{'} A} = \left(\right. 1 - k \left.\right) \overset{\rightarrow}{A B}\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{G A^{'}} = \overset{\rightarrow}{G A} + k \overset{\rightarrow}{A B}\)

Tương tự:

\(\overset{\rightarrow}{G B^{'}} = \overset{\rightarrow}{G B} + k \overset{\rightarrow}{B C}\) \(\overset{\rightarrow}{G C^{'}} = \overset{\rightarrow}{G C} + k \overset{\rightarrow}{C A}\)

Cộng ba đẳng thức:

\(\overset{\rightarrow}{G A^{'}} + \overset{\rightarrow}{G B^{'}} + \overset{\rightarrow}{G C^{'}} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} \left.\right) + k \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} + \overset{\rightarrow}{C A} \left.\right)\)

Vì:

\(\overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} + \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{\rightarrow}{0}\)

nên:

\(\overset{\rightarrow}{G A^{'}} + \overset{\rightarrow}{G B^{'}} + \overset{\rightarrow}{G C^{'}} = \overset{\rightarrow}{0}\)

⇒ \(G\) là trọng tâm chung của hai tam giác.

Từ đề bài, ta có:

\(\overset{\rightarrow}{I A} + 3 \overset{\rightarrow}{I C} = 0 \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I A} = - 3 \overset{\rightarrow}{I C}\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{A I}=\frac{3}{4}\overset{\rightarrow}{A C}\Rightarrow\text{ I thuộc AC, }\textrm{ }\frac{A I}{I C}=3\)

Theo đề bài, ta có

\(\overset{\rightarrow}{J A} + 2 \overset{\rightarrow}{J B} + 3 \overset{\rightarrow}{J C} = 0\)

=>\(\overset{\rightarrow}{J B} = \frac{1}{6} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + 3 \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right)\)

Ta có

\(\overset{\rightarrow}{I B} = \frac{1}{4} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + 3 \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right)\)

⇒ \(\overset{\rightarrow}{J B}\) cùng phương với \(\overset{\rightarrow}{I B}\)

=> B,I,J thẳng hàng

a,

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{C F} = \overset{\rightarrow}{C A} + \overset{\rightarrow}{A F} = - \overset{\rightarrow}{A C} + 2 \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Mà trong hình bình hành:

\(\overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{C F} = - \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} \left.\right) + 2 \overset{\rightarrow}{A D} = - \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Tiếp theo:

\(\overset{\rightarrow}{C E} = \overset{\rightarrow}{C A} + \overset{\rightarrow}{A E} = - \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} \left.\right) + 2 \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{A B} - \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Do đó:

\(\overset{\rightarrow}{C F} = - \overset{\rightarrow}{C E} .\)

Suy ra \(F , C , E\) thẳng hàng.

b,

Xét tứ giác \(B D C E\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{B D} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{A D} = - \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Mặt khác:

\(\overset{\rightarrow}{C E} = \overset{\rightarrow}{A B} - \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{B D} = - \overset{\rightarrow}{C E} \Rightarrow B D \parallel C E .\)

Lại có:

\(\overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{B E} = \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{B E} .\)

Vậy \(B D C E\) là hình bình hành.

Xét tứ giác BDFC

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{D F} = \overset{\rightarrow}{D A} + \overset{\rightarrow}{A F} = - \overset{\rightarrow}{A D} + 2 \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Mà:

\(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{D F} = \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{F C} = - \overset{\rightarrow}{B D} .\)

Vậy \(B D F C\) là hình bình hành.

a,Từ \(\overset{\rightarrow}{I B} = 2 \overset{\rightarrow}{I C}\), ta có:

\(\overset{\rightarrow}{I B} - 2 \overset{\rightarrow}{I C} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

Mà:

\(\overset{\rightarrow}{I B} = \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{I C} = \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Thay vào:

\(\overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} .\)

Suy ra:

\(- \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I A} = \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Xét hệ thức \(\overset{\rightarrow}{J C} = - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{J A}\).

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{J C} = \overset{\rightarrow}{J A} + \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Do đó:

\(\overset{\rightarrow}{J A} + \overset{\rightarrow}{A C} = - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{J A} \Rightarrow \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{J A} = - \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{J A} = - \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Xét hệ thức \(\overset{\rightarrow}{K A} = - \overset{\rightarrow}{K B}\).

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{K B} = \overset{\rightarrow}{K A} + \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Thay vào:

\(\overset{\rightarrow}{K A} = - \left(\right. \overset{\rightarrow}{K A} + \overset{\rightarrow}{A B} \left.\right) \Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{K A} = - \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{K A} = - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Ta tính:

\(\overset{\rightarrow}{I J} = \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A J} = \overset{\rightarrow}{I A} - \overset{\rightarrow}{J A} .\)

Thay các biểu thức đã tìm được:

\(\overset{\rightarrow}{I J} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) - \left(\right. - \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{A B} - \frac{4}{3} \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Tiếp theo:

\(\overset{\rightarrow}{I K} = \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{I A} - \overset{\rightarrow}{K A} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{I K} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) - \left(\right. - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} \left.\right) = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \overset{\rightarrow}{A C} .\)

b,

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{I J} = \overset{\rightarrow}{A B} - \frac{4}{3} \overset{\rightarrow}{A C} , \overset{\rightarrow}{I K} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A B} - 2 \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Ta nhận thấy:

\(\overset{\rightarrow}{I K} = \frac{3}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} - \frac{4}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{3}{2} \textrm{ } \overset{\rightarrow}{I J} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{I J}\) và \(\overset{\rightarrow}{I K}\) cùng phương.

Suy ra ba điểm \(I , J , K\) thẳng hàng.

Từ hệ thức

\(\overset{\rightarrow}{B C} + \overset{\rightarrow}{M A} = \overset{\rightarrow}{0}\)

suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{M A} = - \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{C B} .\)

Do đó:

\(\overset{\rightarrow}{A M} = - \overset{\rightarrow}{M A} = \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Xét hệ thức thứ hai

\(\overset{\rightarrow}{A B} - \overset{\rightarrow}{N A} - 3 \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{N A} = \overset{\rightarrow}{A B} - 3 \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Do đó:

\(\overset{\rightarrow}{A N} = - \overset{\rightarrow}{N A} = 3 \overset{\rightarrow}{A C} - \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{B N} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{B A} + 3 \overset{\rightarrow}{A C} - \overset{\rightarrow}{A B} = 3 \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{B N} = - \overset{\rightarrow}{B M} + \overset{\rightarrow}{B N} .\)

Thay các biểu thức đã tìm được:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = - \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) + 3 \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Mà:

\(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = - \overset{\rightarrow}{B A} - \overset{\rightarrow}{B A} - \overset{\rightarrow}{A C} + 3 \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A C} - 2 \overset{\rightarrow}{B A} .\)

Mặt khác:

\(\overset{\rightarrow}{B A} = \overset{\rightarrow}{B C} - \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Thay vào:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = 2 \overset{\rightarrow}{A C} - 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{B C} - \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = 4 \overset{\rightarrow}{A C} - 2 \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà từ \(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{B C}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{B C}\) là một vectơ cố định, do đó \(\overset{\rightarrow}{M N}\) là một vectơ cùng phương với \(\overset{\rightarrow}{A C}\).

Suy ra:

\(M N \parallel A C .\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(A M\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{B M} \left.\right) .\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(B C\), do đó:

\(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mặt khác, do \(K\) thuộc cạnh \(A C\) và \(A K = \frac{1}{3} A C\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{B K} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C} .\)

Mà:

\(\overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{B K} = \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

So sánh hai vectơ:

\(\overset{\rightarrow}{B I} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{B C} = \frac{3}{4} \left(\right. \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{B A} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) = \frac{3}{4} \textrm{ } \overset{\rightarrow}{B K} .\)

Do \(\overset{\rightarrow}{B I}\) và \(\overset{\rightarrow}{B K}\) cùng phương, suy ra ba điểm \(B , I , K\) thẳng hàng.

a,

\(\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{M A} = - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} .\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{B N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B N} .\)

Thay các biểu thức trên vào:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} + \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mặt khác:

\(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} + \overset{\rightarrow}{C D} .\)

Suy ra:

\(- \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C D} .\)

Thay vào biểu thức của \(\overset{\rightarrow}{M N}\):

\(\overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{A B} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C D} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} - \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C D} .\)

Do \(\overset{\rightarrow}{D C} = - \overset{\rightarrow}{C D}\), ta được:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) .\)

Mặt khác:

\(\overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} , \overset{\rightarrow}{D B} = \overset{\rightarrow}{D C} + \overset{\rightarrow}{C B} .\)

Cộng hai đẳng thức:

\(\overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} .\)

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right) .\)

Vậy:

\(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{D B} \left.\right) .\)

b,

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\) =\(\overrightarrow{0}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(M N\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{I M} + \overset{\rightarrow}{I N} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{I M} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} \left.\right) .\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên:

\(\overset{\rightarrow}{I N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} \left.\right) .\)

Thay vào:

\(\frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I D} \left.\right) + \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0} .\)

Nhân cả hai vế với 2:

\(\overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} + \overset{\rightarrow}{I D} = \overset{\rightarrow}{0} .\)

\(\)

a,MN=21​(AB+DC)=21​(AC+DB)

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên:

\(\overset{⃗}{M A} = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A D} .\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên:

\(\overset{⃗}{B N} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{B C} .\)

Ta có:

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{M A} + \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B N} .\)

Thay các biểu thức trên vào:

\(\overset{⃗}{M N} = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A D} + \overset{⃗}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{B C} .\)

Mặt khác:

\(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B C} + \overset{⃗}{C D} .\)

Suy ra:

\(- \frac{1}{2} \overset{⃗}{A D} = - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{B C} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{C D} .\)

Thay vào biểu thức của \(\overset{⃗}{M N}\):

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{B C} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{B C} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{C D} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⃗}{C D} .\)

Do \(\overset{⃗}{D C} = - \overset{⃗}{C D}\), ta được:

\(\overset{⃗}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{D C} \left.\right) .\)

Mặt khác:

\(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B C} , \overset{⃗}{D B} = \overset{⃗}{D C} + \overset{⃗}{C B} .\)

Cộng hai đẳng thức:

\(\overset{⃗}{A C} + \overset{⃗}{D B} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{D C} .\)

Suy ra:

\(\overset{⃗}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{A C} + \overset{⃗}{D B} \left.\right) .\)

Vậy:

\(\overset{⃗}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{D C} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{A C} + \overset{⃗}{D B} \left.\right) .\)

b) Chứng minh

\(\overset{⃗}{I A} + \overset{⃗}{I B} + \overset{⃗}{I C} + \overset{⃗}{I D} = \overset{⃗}{0}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(M N\) nên:

\(\overset{⃗}{I M} + \overset{⃗}{I N} = \overset{⃗}{0} .\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(A D\) nên:

\(\overset{⃗}{I M} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{I A} + \overset{⃗}{I D} \left.\right) .\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(B C\) nên:

\(\overset{⃗}{I N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{I B} + \overset{⃗}{I C} \left.\right) .\)

Thay vào \(\overset{⃗}{I M} + \overset{⃗}{I N} = \overset{⃗}{0}\):

\(\frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{I A} + \overset{⃗}{I D} \left.\right) + \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{I B} + \overset{⃗}{I C} \left.\right) = \overset{⃗}{0} .\)

Nhân cả hai vế với 2:

\(\overset{⃗}{I A} + \overset{⃗}{I B} + \overset{⃗}{I C} + \overset{⃗}{I D} = \overset{⃗}{0} .\)