Qua \(C\) dựng đường thẳng song song với \(A I\) cắt \(B I\) tai \(B^{'}\);song song với \(B I\) cắt \(A I\) tại A'
Ta có \(\overset{\rightarrow}{I C} = \overset{\rightarrow}{I A^{'}} + \overset{\rightarrow}{I B^{'}}\) (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có :
\(\frac{I B}{I B^{'}}=\frac{B A_{1}}{C A_{1}}=\frac{c}{b}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{I B^{'}}=-\frac{b}{c}\overset{\rightarrow}{I B}(\text{1})\)
Tương tự : \(\overset{\rightarrow}{I A^{'}} = - \frac{a}{c} \overset{\rightarrow}{I A}\) (2)
Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
\(\overset{\rightarrow}{I C} = - \frac{a}{c} \overset{\rightarrow}{I A} - \frac{b}{c} \overset{\rightarrow}{I B} \Leftrightarrow a \overset{\rightarrow}{I A} + b \overset{\rightarrow}{I B} + c \overset{\rightarrow}{I C} = \overset{\rightarrow}{0}\).

Qua \(C\) dựng đường thẳng song song với \(A I\) cắt \(B I\) tai \(B^{'}\);song song với \(B I\) cắt \(A I\) tại A'
Ta có \(\overset{\rightarrow}{I C} = \overset{\rightarrow}{I A^{'}} + \overset{\rightarrow}{I B^{'}}\) (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có :
\(\frac{I B}{I B^{'}}=\frac{B A_{1}}{C A_{1}}=\frac{c}{b}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{I B^{'}}=-\frac{b}{c}\overset{\rightarrow}{I B}(\text{1})\)
Tương tự : \(\overset{\rightarrow}{I A^{'}} = - \frac{a}{c} \overset{\rightarrow}{I A}\) (2)
Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
\(\overset{\rightarrow}{I C} = - \frac{a}{c} \overset{\rightarrow}{I A} - \frac{b}{c} \overset{\rightarrow}{I B} \Leftrightarrow a \overset{\rightarrow}{I A} + b \overset{\rightarrow}{I B} + c \overset{\rightarrow}{I C} = \overset{\rightarrow}{0}\).

a) Dễ thấy \(\overset{\rightarrow}{H A} + \overset{\rightarrow}{H B} + \overset{\rightarrow}{H C} = 2 \overset{\rightarrow}{H O}\) nếu tam giác \(A B C\)
vuông thấy \(\overset{\rightarrow}{H A} + \overset{\rightarrow}{H B} + \overset{\rightarrow}{H C} = 2 \overset{\rightarrow}{H O}\) nếu tam giác \(A B C\) vuông
Nếu tam giác \(A B C\) không vuông gọi \(D\) là điểm đối xứng của A qua \(O\) khi đó
\(B H / / D C\) (vì cùng vuông góc với \(A C\) )
\(B D / / C H\) (vì cùng vuông góc với \(A B\) )
Suy ra \(B D C H\) là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì \(\overset{\rightarrow}{H B} + \overset{\rightarrow}{H C} = \overset{\rightarrow}{H D}\) (1)

Mặt khác vì \(O\) là trung điểm của \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{H A} + \overset{\rightarrow}{H D} = 2 \overset{\rightarrow}{H O}\)
Hinh \(1.17\)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overset{\rightarrow}{H A} + \overset{\rightarrow}{H B} + \overset{\rightarrow}{H C} = 2 \overset{\rightarrow}{H O}\)
b) Theo câu a) ta có
\(\overset{\rightarrow}{H A}+\overset{\rightarrow}{H B}+\overset{\rightarrow}{H C}=2\overset{\rightarrow}{H O}\\\&\Leftrightarrow\left(\right.\overset{\rightarrow}{H O}+\overset{\rightarrow}{O A}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{H O}+\overset{\rightarrow}{O B}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{H O}+\overset{\rightarrow}{O C}\left.\right)=2\overset{\rightarrow}{H O}\\\&\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{O A}+\overset{\rightarrow}{O B}+\overset{\rightarrow}{O C}=\overset{\rightarrow}{O H}\&\text{nbsp};đ\text{pcm}\&\text{nbsp};\)
c) Vì G là trọng tâm tam giác \(A B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B} + \overset{\rightarrow}{O C} = 3 \overset{\rightarrow}{O G}\)
Mặt khác theo câu b) ta có \(\overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B} + \overset{\rightarrow}{O C} = \overset{\rightarrow}{O H}\)
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{O H} = 3 \overset{\rightarrow}{O G} \Leftrightarrow \left(\right. \overset{\rightarrow}{O G} + \overset{\rightarrow}{G H} \left.\right) - 3 \overset{\rightarrow}{O G} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G H} + 2 \overset{\rightarrow}{G O} = \overset{\rightarrow}{0}\)

Vì \(G_{1}\) là trọng tâm tam giác \(B C A_{1}\) nên \(3 \overset{\rightarrow}{G G_{1}} = \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} + \left(\overset{\rightarrow}{G A}\right)_{1}\)
Tương tự \(G_{2} , G_{3}\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(A B C_{1} , A C B_{1}\) suy ra \(3 \overset{\rightarrow}{G G_{2}} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C_{1}}\) và \(3 \overset{\rightarrow}{G G_{3}} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G C} + \overset{\rightarrow}{G B_{1}}\)
Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
\(\overset{\rightarrow}{G G_{1}} + \overset{\rightarrow}{G G_{2}} + \overset{\rightarrow}{G G_{3}} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} \left.\right) + \left(\right. \overset{\rightarrow}{G A_{1}} + \overset{\rightarrow}{G B_{1}} + \overset{\rightarrow}{G C_{1}} \left.\right)\)
Mặt khác hai tam giác \(A B C\) và \(A_{1} B_{1} C_{1}\) có cùng trọng tâm \(G\) nên
\(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0} \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{G A_{1}} + \overset{\rightarrow}{G B_{1}} + \overset{\rightarrow}{G C_{1}}\)
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{G G_{1}} + \overset{\rightarrow}{G G_{2}} + \overset{\rightarrow}{G G_{3}} = \overset{\rightarrow}{0}\)

a) Gọi \(O , P , Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(A A^{'} , B B^{'} , C C^{'}\). Ta có:
\(\overset{\rightarrow}{M O}=\frac{1}{2}\left(\right.\overset{\rightarrow}{M A}+\overset{\rightarrow}{M A^{'}}\left.\right)=\frac{1}{2}\left(\right.\overset{\rightarrow}{M A}+\overset{\rightarrow}{M B}+\overset{\rightarrow}{M C}\left.\right)\\\&\overset{\rightarrow}{M P}=\frac{1}{2}\left(\right.\overset{\rightarrow}{M B}+\overset{\rightarrow}{M B^{'}}\left.\right)=\frac{1}{2}\left(\right.\overset{\rightarrow}{M A}+\overset{\rightarrow}{M B}+\overset{\rightarrow}{M C}\left.\right)\\\&\overset{\rightarrow}{M Q}=\frac{1}{2}\left(\right.\overset{\rightarrow}{M A}+\overset{\rightarrow}{M C^{'}}\left.\right)=\frac{1}{2}\left(\right.\overset{\rightarrow}{M A}+\overset{\rightarrow}{M B}+\overset{\rightarrow}{M C}\left.\right)\\\&\Rightarrow\overset{\rightarrow}{M O}=\overset{\rightarrow}{M P}=\overset{\rightarrow}{M Q}\Rightarrow O\equiv P\equiv Q.\)
Do đó ba đường thẳng \(A A^{'} , B B^{'} , C C^{'}\) đồng quy tại trung điểm \(N \left(\right. \equiv O \equiv P \equiv Q \left.\right)\) của mỗi đường.
b)

Chứng minh rằng khi \(M\) di động đường thẳng \(M N\) luôn đi qua trọng tâm \(G\) của \(\triangle A B C\).
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\triangle A B C\) nên ta có \(\overset{\rightarrow}{M G} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left.\right)\).
Mặt khác \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left.\right)\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{M G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{M N}\). Do đó 3 điểm \(M , N , G\) thẳng hàng.
Vậy khi \(M\) di động đường thẳng \(M N\) luôn đi qua trọng tâm \(G\) của \(\triangle A B C\).

Gọi \(G , G^{'}\) lần lượt là trọng tâm của các \(\triangle A B C\) và \(\triangle A^{'} B^{'} C^{'}\).
Khi đó \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\) và \(\overset{\rightarrow}{G^{'} A^{'}} + \overset{\rightarrow}{G^{'} B^{'}} + \overset{\rightarrow}{G^{'} C^{'}} = \overset{\rightarrow}{0}\).
Ta đạ̄t: \(\frac{A A^{'}}{A B}=\frac{B B^{'}}{B C}=\frac{C C^{'}}{A C}=k>0\Rightarrow{\overset{\rightarrow}{A A^{'}}=k\overset{\rightarrow}{A B}\\\overset{\rightarrow}{B B^{'}}=k\overset{\rightarrow}{B C}.\\\overset{\rightarrow}{C C^{'}}=k\overset{\rightarrow}{C A}}\)
Do \(G\) là trọng tâm của các \(\triangle A B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\left(\right.\overset{\rightarrow}{G G^{'}}+\overset{\rightarrow}{G^{'} A^{'}}+\overset{\rightarrow}{A^{'} A}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{G G^{'}}+\overset{\rightarrow}{G^{'} B^{'}}+\overset{\rightarrow}{B^{'} B}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{G G^{'}}+\overset{\rightarrow}{G^{'} C^{'}}+\overset{\rightarrow}{C^{'} C}\left.\right)=\overset{\rightarrow}{0}\\\Leftrightarrow3\overset{\rightarrow}{G G^{'}}+\left(\right.\overset{\rightarrow}{G^{'} A^{'}}+\overset{\rightarrow}{G^{'} B^{'}}+\overset{\rightarrow}{G^{'} C^{'}}\left.\right)-\left(\right.\overset{\rightarrow}{A A^{'}}+\overset{\rightarrow}{B B^{'}}+\overset{\rightarrow}{C C^{'}}\left.\right)=\overset{\rightarrow}{0}\\\Leftrightarrow3\overset{\rightarrow}{G G^{'}}+-k\left(\right.\overset{\rightarrow}{A B}+\overset{\rightarrow}{B C}+\overset{\rightarrow}{C A}\left.\right)=\overset{\rightarrow}{0}\\\Leftrightarrow3\overset{\rightarrow}{G G^{'}}-k\cdot\overset{\rightarrow}{0}=\overset{\rightarrow}{0}\\\Leftrightarrow3\overset{\rightarrow}{G G^{'}}=\overset{\rightarrow}{0}\Leftrightarrow G\equiv G^{^{\prime}}\)

Ta có \({\overset{\rightarrow}{I A}+3\overset{\rightarrow}{I C}=\overset{\rightarrow}{0}\\\overset{\rightarrow}{J A}+2\overset{\rightarrow}{J B}+3\overset{\rightarrow}{J C}=\overset{\rightarrow}{0}}\)
\(\Leftrightarrow{\overset{\rightarrow}{I A}+3\overset{\rightarrow}{I C}=\overset{\rightarrow}{0}\\\left(\right.\overset{\rightarrow}{J I}+\overset{\rightarrow}{I A}\left.\right)+2\left(\right.\overset{\rightarrow}{J I}+\overset{\rightarrow}{I B}\left.\right)+3\left(\right.\overset{\rightarrow}{J I}+\overset{\rightarrow}{I C}\left.\right)=\overset{\rightarrow}{0}}\)
\(\Leftrightarrow{\overset{\rightarrow}{I A}+3\overset{\rightarrow}{I C}=\overset{\rightarrow}{0}\\6\overset{\rightarrow}{J I}+2\overset{\rightarrow}{I B}+\left(\right.\overset{\rightarrow}{I A}+3\overset{\rightarrow}{I C}\left.\right)=\overset{\rightarrow}{0}}\)
\(\Rightarrow 6 \overset{\rightarrow}{J I} + 2 \overset{\rightarrow}{I B} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{I B} = - 3 \overset{\rightarrow}{J I} .\)
Vậy ba điểm \(I , J , B\) thẳng hàng.

a) Ba điểm \(F , C , E\) thẳng hàng.
Theo đề ra ta có \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A F , B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A E\).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{C E} = \overset{\rightarrow}{C B} + \overset{\rightarrow}{B E} = \overset{\rightarrow}{D A} + \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{F D} + \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F C}\) nên ba điểm \(F , C , E\) thẳng hàng..
b) Các tứ giác \(B D C E , B D F C\) là hình bình hành.
Ta có \({BE//DC\\BE=DC\Rightarrow BDCE}\) là hình bình hành.
Ta có \({DF//BC\\DF=BC\Rightarrow BDFC}\) là hình bình hành.

a) Ba điểm \(F , C , E\) thẳng hàng.
Theo đề ra ta có \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A F , B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A E\).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{C E} = \overset{\rightarrow}{C B} + \overset{\rightarrow}{B E} = \overset{\rightarrow}{D A} + \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{F D} + \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F C}\) nên ba điểm \(F , C , E\) thẳng hàng..
b) Các tứ giác \(B D C E , B D F C\) là hình bình hành.
Ta có \({BE//DC\\BE=DC\Rightarrow BDCE}\) là hình bình hành.
Ta có \({DF//BC\\DF=BC\Rightarrow BDFC}\) là hình bình hành.

a) Ba điểm \(F , C , E\) thẳng hàng.
Theo đề ra ta có \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A F , B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A E\).
Ta có \(\overset{\rightarrow}{C E} = \overset{\rightarrow}{C B} + \overset{\rightarrow}{B E} = \overset{\rightarrow}{D A} + \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{F D} + \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F C}\) nên ba điểm \(F , C , E\) thẳng hàng..
b) Các tứ giác \(B D C E , B D F C\) là hình bình hành.
Ta có \({BE//DC\\BE=DC\Rightarrow BDCE}\) là hình bình hành.
Ta có \({DF//BC\\DF=BC\Rightarrow BDFC}\) là hình bình hành.