Cơ năng của vật:

E = 37,5 J

Tại độ cao h = 3 m:

Động năng bằng 1,5 lần thế năng

K = 1,5 U

Mà:

E = K + U

⇒ E = 1,5U + U = 2,5U

Suy ra:

U = E / 2,5
U = 37,5 / 2,5
U = 15 J

Tính khối lượng

Thế năng:

U = mgh

15 = m . 10 . 3
15 = 30m

m = 0,5 kg

Tính vận tốc tại độ cao đó

Động năng:

K = 1,5U = 1,5 . 15 = 22,5 J

Công thức động năng:

K = 1/2 m v²

22,5 = 1/2 . 0,5 . v²
22,5 = 0,25 v²

v² = 90

v = √90 ≈ 9,5 m/s

m = 2 tấn = 2000 kg
v = 21,6 km/h = 6 m/s
t = 15 s
g = 10 m/s2

Gia tốc của xe:

a = v / t = 6 / 15 = 0,4 m/s2

Quãng đường xe đi:

s = 1/2 . a . t^2
s = 1/2 . 0,4 . 15^2
s = 45 m

a) Bỏ qua ma sát

Lực kéo:

F = m . a
F = 2000 . 0,4 = 800 N

Công của động cơ:

A = F . s
A = 800 . 45 = 36000 J

Công suất:

P = A / t
P = 36000 / 15 = 2400 W = 2,4 kW

b) Hệ số ma sát 0,05

Lực ma sát:

Fms = 0,05 . 2000 . 10 = 1000 N

Lực kéo của động cơ:

F = ma + Fms
F = 800 + 1000 = 1800 N

Công của động cơ:

A = 1800 . 45 = 81000 J

Công suất:

P = 81000 / 15 = 5400 W = 5,4 kW

Kết quả cuối:

a) F = 800 N ; A = 36000 J ; P = 2,4 kW
b) F = 1800 N ; A = 81000 J ; P = 5,4 kW

Vì \(v_{0} = 0\), công thức trở thành:
\(d \left(\right. t \left.\right) = \frac{1}{2} g t^{2}\)

Quãng đường rơi trong giây cuối cùng trước khi chạm đất là hiệu quãng đường rơi trong thời gian \(t\) và quãng đường rơi trong thời gian \(t - 1\):
\(\Delta d_{giâycuối}=d\left(\right.t\left.\right)-d\left(\right.t-1\left.\right)=14.7\textrm{ }\text{m}\)
Thay công thức quãng đường vào:
\(\frac{1}{2} g t^{2} - \frac{1}{2} g \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2} = 14.7\)
\(\frac{1}{2} g \left[\right. t^{2} - \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2} \left]\right. = 14.7\)
\(\frac{1}{2} g \left[\right. t^{2} - \left(\right. t^{2} - 2 t + 1 \left.\right) \left]\right. = 14.7\)
\(\frac{1}{2} g \left[\right. 2 t - 1 \left]\right. = 14.7\)

Thay giá trị \(g = 9.8 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\):
\(\frac{1}{2} \left(\right. 9.8 \left.\right) \left(\right. 2 t - 1 \left.\right) = 14.7\)
\(4.9 \left(\right. 2 t - 1 \left.\right) = 14.7\)
\(2 t - 1 = \frac{14.7}{4.9}\)
\(2 t - 1 = 3\)
\(2 t = 4\)
\(t = 2 \textrm{ } \text{s}\)

Vậy, thời gian rơi tự do của viên đá là 2 giây.

a.

Để vẽ đồ thị độ dịch chuyển - thời gian, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn hệ trục tọa độ: Trục hoành (Ox) biểu diễn thời gian (t) với đơn vị là giây (s). Trục tung (Oy) biểu diễn độ dịch chuyển (d) với đơn vị là mét (m).
2. Chọn tỉ lệ xích: Chọn tỉ lệ phù hợp cho mỗi trục. Ví dụ: Trục thời gian có thể chọn 1 cm ứng với 5 s, trục độ dịch chuyển có thể chọn 1 cm ứng với 5 m.
3. Biểu diễn các điểm dữ liệu: Dựa vào bảng số liệu, ta xác định các cặp điểm \(\left(\right. t , d \left.\right)\) cần biểu diễn: \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 5 , 10 \left.\right)\), \(\left(\right. 10 , 20 \left.\right)\), \(\left(\right. 15 , 30 \left.\right)\), \(\left(\right. 20 , 30 \left.\right)\), \(\left(\right. 25 , 30 \left.\right)\).
4. Nối các điểm:
5. • Từ \(t = 0\) đến \(t = 15\) s, đồ thị là một đoạn thẳng đi lên, thể hiện chuyển động thẳng đều.
   • Từ \(t = 15\) đến \(t = 25\) s, đồ thị là một đoạn thẳng nằm ngang, thể hiện vật đứng yên.

Đồ thị sẽ bao gồm các đoạn thẳng nối các điểm dữ liệu theo đúng thứ tự thời gian.

b.

Dựa vào bảng số liệu và đồ thị, ta có thể mô tả chuyển động của Nam như sau:

• Trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 15\) giây, độ dịch chuyển của Nam tăng đều theo thời gian. Điều này cho thấy Nam đang chuyển động thẳng đều với một vận tốc không đổi.
• Trong khoảng thời gian từ \(t = 15\) giây đến \(t = 25\) giây, độ dịch chuyển của Nam không thay đổi (vẫn là 30 m). Điều này cho thấy Nam đã dừng lại và đứng yên trong khoảng thời gian này.

c. Tính vận tốc của xe trong 15 s đầu và trong suốt quá trình chuyển động.

• Vận tốc trong 15 s đầu:
  Trong 15 giây đầu tiên (\(t\) từ 0 đến 15 s), chuyển động là thẳng đều. Ta có thể tính vận tốc \(v\) bằng công thức:
  \(v = \frac{\Delta d}{\Delta t}\)
  Sử dụng dữ liệu từ \(t = 0\) đến \(t = 15\) s:
  \(v_{\text{15s}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{u}} = \frac{d_{15} - d_{0}}{t_{15} - t_{0}} = \frac{30 \textrm{ } \text{m} - 0 \textrm{ } \text{m}}{15 \textrm{ } \text{s} - 0 \textrm{ } \text{s}} = \frac{30}{15} = 2 \textrm{ } \text{m}/\text{s}\)
  Vậy, vận tốc của Nam trong 15 giây đầu là \(2 \textrm{ } \text{m}/\text{s}\).
• Vận tốc trong suốt quá trình chuyển động:
  "Vận tốc trong suốt quá trình chuyển động" thường được hiểu là vận tốc trung bình của vật trong toàn bộ khoảng thời gian xét.
  Ta tính vận tốc trung bình \(v_{t b}\) bằng công thức:
  \(v_{tb}=\frac{\text{T}ổ\text{ng }độ\text{ d}ị\text{ch chuy}ể\text{n}}{\text{T}ổ\text{ng th}ời\text{ gian}}\)
  Sử dụng dữ liệu từ \(t = 0\) đến \(t = 25\) s:
  \(v_{t b} = \frac{d_{25} - d_{0}}{t_{25} - t_{0}} = \frac{30 \textrm{ } \text{m} - 0 \textrm{ } \text{m}}{25 \textrm{ } \text{s} - 0 \textrm{ } \text{s}} = \frac{30}{25} = 1.2 \textrm{ } \text{m}/\text{s}\)
  Vậy, vận tốc trung bình trong suốt quá trình chuyển động là \(1.2 \textrm{ } \text{m}/\text{s}\).

a.

Chuyển đổi:

• \(v_{1} = 36 \textrm{ } \text{km}/\text{h} = 10 \textrm{ } \text{m}/\text{s}\)

Áp dụng công thức chuyển động thẳng chậm dần đều:

\(v = v_{0} + a t \Rightarrow 15 = 18 + a \cdot 10 \Rightarrow a = \frac{15 - 18}{10} = - 0.3 \textrm{ } \text{m}/\text{s}^{2}\)

Bây giờ tính thời gian để vận tốc còn 10 m/s:

\(10 = 18 + \left(\right. - 0.3 \left.\right) t \Rightarrow - 8 = - 0.3 t \Rightarrow t = \frac{8}{0.3} \approx 26.67 \textrm{ } \text{gi} \hat{\text{a}} \text{y}\)

Sau khoảng 26,67 giây, ô tô đạt vận tốc 36 km/h.

b. \(v = 0\)

\(0 = 18 + \left(\right. - 0.3 \left.\right) t \Rightarrow t = \frac{18}{0.3} = 60 \textrm{ } \text{gi} \hat{\text{a}} \text{y}\)

Sau 60 giây , ô tô dừng hẳn.

Gọi \(x\) = số phút quảng cáo trên phát thanh, \(y\) = số phút quảng cáo trên truyền hình.

• Chi phí 1 phút phát thanh: \(800 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) đồng.
• Chi phí 1 phút truyền hình: \(4 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) đồng.
• Tổng ngân sách tối đa: \(16 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) đồng.
• Hiệu quả (cùng đơn vị) trên truyền hình gấp 6 lần phát thanh, nên ta có hiệu quả trên 1 phút: phát thanh = 1 (đv), truyền hình = 6 (đv).

Bài toán

\(\overset{}{}E\left(\right.x,y\left.\right)=x+6y\)

theo các ràng buộc

\(800 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ }\textrm{ } x + 4 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ }\textrm{ } y \leq 16 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 ,\) \(x \geq 5 , 0 \leq y \leq 4.\)

Chia cả bất đẳng thức chi phí cho \(10^{9}\) (tính theo tỉ = tỷ đồng) để cho gọn:

\(0.8 \textrm{ } x + 4000 \textrm{ } y \leq 16000.\)

Suy ra

\(x+5000\textrm{ }y\leq20000\)

Vì mục tiêu \(E = x + 6 y\) tăng khi \(x\) tăng và tăng khi \(y\) tăng (hệ số dương), với một \(y\) đã cho ta nên chọn \(x\) lớn nhất thỏa chi phí, tức

\(x=20000-5000y\left(;20000-5000y\geq5\right).\)

Thay vào \(E\):

\(E \left(\right. y \left.\right) = 20000 - 5000 y + 6 y = 20000 - 4994 y .\)

Hàm này giảm theo \(y\) (hệ số \(- 4994\) âm), nên để \(E\) lớn nhất ta chọn \(y\) nhỏ nhất trong miền cho phép, tức \(y = 0\).

Khi \(y = 0\) thì \(x = 20000\) (phút), và \(x \geq 5\) thỏa. Tổng chi phí: \(800 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \cdot 20000 = 16 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000 \textrm{ } 000\) (vừa đúng ngân sách). Hiệu quả tối đa thu được là

Kết luận (theo giả thiết một suất mỗi loại):
Công ty nên đặt 20000 phút quảng cáo trên sóng phát thanh và 0 phút trên truyền hình. (Tức: chi toàn bộ 16.000.000.000.000 đồng cho phát thanh.)
Hiệu quả thu được là 20000 (đơn vị hiệu quả theo đề bài).

Gọi \(x\) (kg) là lượng sản phẩm loại I, \(y\) (kg) là lượng sản phẩm loại II.

Tài nguyên :

• Nguyên liệu: \(2 x + 4 y \leq 200\) (kg) → chia 2: \(x + 2 y \leq 100\).
• Giờ làm: \(30 x + 15 y \leq 120\) → chia 15: \(2 x + y \leq 8\).
• \(x \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } y \geq 0\).

Hàm lợi nhuận
Lãi \(P = 40 x + 30 y\) (đơn vị: triệu đồng nếu dùng 40 và 30 là triệu).

Ta tìm cực đại trên miền nghiệm (giao của các nửa mặt phẳng). Miền này là tam giác có đỉnh:

(Giới hạn \(x + 2 y \leq 100\) là lỏng hơn so với \(2 x + y \leq 8\) trên miền \(x , y \geq 0\), nên biên thực tế là \(2 x + y = 8\).)

Tính \(P\) ở các đỉnh:

• \(P \left(\right. 0 , 0 \left.\right) = 0\).
• \(P \left(\right. 4 , 0 \left.\right) = 40 \cdot 4 + 30 \cdot 0 = 160\) (triệu đồng).
• \(P \left(\right. 0 , 8 \left.\right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 8 = 240\) (triệu đồng).

Kết luận: đạt lợi nhuận lớn nhất tại \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 0 , 8 \left.\right)\).
Nên sản xuất 0 kg sản phẩm loại I và 8 kg sản phẩm loại II, khi đó sử dụng hết 120 giờ và thu lợi 240.000.000 đồng.

Bước 1. Phân tích \(x^{3} + y^{3}\) thành tích:

\(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) .\)

Vậy bất đẳng thức trở thành

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) \geq 0.\)

Bước 2. Nhận xét về \(x^{2} - x y + y^{2}\).
Biểu thức này luôn dương với mọi \(x , y\) khác không đồng thời bằng \(0\). Thực ra phương trình \(x^{2} - x y + y^{2} = 0\) chỉ có nghiệm \(x = 0 , y = 0\).
– Nếu \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) thì tích bằng \(0\) và bất đẳng thức thoả.
– Nếu \(\left(\right. x , y \left.\right) \neq \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) thì \(x^{2} - x y + y^{2} > 0\), do đó nhân với một số dương không đổi không làm đổi dấu bất đẳng thức.

Do đó với mọi \(\left(\right. x , y \left.\right)\) (kể cả gốc), bất đẳng thức tương đương với

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \geq 0.\)

Bước 3. Rút gọn:

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) = x^{2} - y^{2} \geq 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} \geq y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid x \mid \geq \mid y \mid .\)

Kết luận :
Miền nghiệm là tất cả các điểm \(\left(\right. x , y \left.\right) \in \mathbb{R}^{2}\) thoả \(\mid x \mid \geq \mid y \mid\).
Đó là miền gồm hai “nón”/dải nằm sát trục \(O x\): tập các điểm nằm giữa (và trên) hai đường thẳng \(y = x\) và \(y = - x\), bao gồm các đường biên \(y = \pm x\).

a) Vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + y - 2 = 0\) và \(d^{'} :\) \(x - 3 y + 3 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(O x y\).

Xét điểm \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), thấy \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) không phải là nghiệm của bất phương trình \(x + y - 2 \geq 0\) và \(x - 3 y + 3 \leq 0\).

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không được tô màu và kể cả hai đường thẳng \(d\) và \(d^{'}\).

b) Vẽ các đường thẳng \(d :\) \(x + y = 0\); \(d^{'} :\) \(2 x - 3 y + 6 = 0\) và \(d^{' '} :\) \(x - 2 y + 1 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(O x y\).

Xét điểm \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), thấy \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình \(2 x - 3 y + 6 > 0\) và \(x - 2 y + 1 \geq 0\).

Do đó \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2 x - 3 y + 6 > 0\) và \(x - 2 y + 1 \geq 0\).

Xét điểm \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\), thấy \(\left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình \(x + y \&\text{nbsp}; > 0\). Do đó \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 0\)

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ bên dưới kể cả đường thẳng \(d^{' '}\).

a) \(2 x - y \geq 0\)

Bước 1. Chuyển vế để đưa về dạng \(y = . . .\):

\(2 x - y \geq 0 \Rightarrow - y \geq - 2 x \Rightarrow y \leq 2 x\)

Bước 2. Vẽ đường thẳng \(y = 2 x\).
Đây là đường biên (vì có dấu “≥”, ta lấy cả đường này).

Bước 3. Chọn 1 điểm để thử (ví dụ \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\)):
Thay vào \(2 x - y = 0\): \(2 \cdot 0 - 0 = 0 \geq 0\) → đúng,
nên miền nghiệm là phía chứa gốc tọa độ (tức là phía dưới hoặc trùng với đường \(y = 2 x\)).

Kết luận:
Miền nghiệm: \(y \leq 2 x\).
b) \(\frac{x - 2 y}{2} > \frac{2 x + y + 1}{3}\)

Bước 1. Quy đồng (nhân cả 2 vế cho 6):

\(3 \left(\right. x - 2 y \left.\right) > 2 \left(\right. 2 x + y + 1 \left.\right)\)

Bước 2. Mở ngoặc:

\(3 x - 6 y > 4 x + 2 y + 2\)

Bước 3. Chuyển hết về một vế:

\(3 x - 6 y - 4 x - 2 y - 2 > 0\) \(- x - 8 y - 2 > 0\)

Bước 4. Chuyển vế cho dễ nhìn:

\(- 8 y > x + 2 \Rightarrow y < - \frac{x + 2}{8}\)

Bước 5. Vẽ đường thẳng \(y = - \frac{x + 2}{8}\).
Đây là đường biên, nhưng vì dấu “>” (nghiêm ngặt) nên không lấy đường thẳng.

Bước 6. Chọn điểm \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\) để thử:

\(\frac{0 - 0}{2} > \frac{0 + 0 + 1}{3} \Rightarrow 0 > \frac{1}{3} \&\text{nbsp};(\text{sai})\)

→ Vậy miền nghiệm không chứa gốc tọa độ, tức là phía dưới đường thẳng \(y = - \frac{x + 2}{8}\).
Kết luận:
Miền nghiệm: \(y < - \frac{x + 2}{8}\).