1. “1” được định nghĩa như thế nào?

Trong toán học hiện đại, số 1 không phải là một ký hiệu tự nhiên mà được xây dựng dựa trên tiên đề.

1.1. Theo tiên đề Peano

• 0 là số nguyên thủy.
• S(n) là “kế tiếp” của n.
• 1 = S(0).
• 2 = S(1).

1.2. Theo lý thuyết tập hợp ZF

• 0 = ∅
• 1 = {∅}
• 2 = {∅, {∅}}

2. Phép cộng được định nghĩa như thế nào?

Trong số học tự nhiên, phép cộng được định nghĩa đệ quy:

• a + 0 = a
• a + S(b) = S(a + b)

Tức là cộng với số tiếp theo nghĩa là tăng giá trị lên một lần.

3. Chứng minh 1 + 1 = 2 theo định nghĩa Peano

Ta có:
1 = S(0)
1 = S(0)

Áp dụng định nghĩa:

1 + 1
= S(0) + S(0)
= S(S(0) + 0)
= S(S(0)) (vì x + 0 = x)
= 2

4. Trong các hệ đếm khác

• Hệ 2: 1 + 1 = 10 (tức là 2 trong hệ 10)
• Hệ 3, 8, 16…: 1 + 1 vẫn bằng 2

5. Trong các cấu trúc đại số khác

5.1. Modulo

• Mod 2: 1 + 1 ≡ 0
• Mod 3: 1 + 1 ≡ 2
• Mod 5: 1 + 1 ≡ 2

5.2. Đại số Boole (không phải số học)

• OR: 1 + 1 = 1
• XOR: 1 + 1 = 0

Nhưng đây không phải phép cộng trong tự nhiên ℕ.

6. Góc nhìn triết học

• Chủ nghĩa hình thức: “1 + 1 = 2” là mệnh đề đúng trong hệ thống ký hiệu do con người xây dựng.
• Chủ nghĩa logic: Russell và Whitehead chứng minh chặt chẽ rằng 1 + 1 = 2 trong Principia Mathematica.
• Thực nghiệm: trong vật lý, “1 thứ + 1 thứ” đôi khi không bằng hai (ví dụ 1 giọt nước + 1 giọt nước).

7. Kết luận

Trong số học tiêu chuẩn:

1 + 1 = 2

văn