a) Chứng minh các góc \(\angle A C D , \angle C A D\) không đổi

1. Góc nội tiếp trên cung cố định:
2. • \(C \in \left(\right. O \left.\right)\), \(D \in \left(\right. O^{'} \left.\right)\)
   • \(A , B\) cố định ⇒ \(\angle A C D\) là góc nội tiếp chắn cung AB trên \(\left(\right. O \left.\right)\)
   • Tương tự, \(\angle C A D\) là góc nội tiếp trên (O')
3. Kết luận:

\(\angle ACD,\angle CAD\text{kh}\hat{\text{o}}\text{ng }đổ\text{i khi d quay quanh B}.\)

b) Vị trí d để CD dài nhất

• Xét tam giác \(C B D\) với B cố định: CD dài nhất khi C, D thẳng hàng qua B theo đường nối tâm O–O'
• Nói cách khác, CD dài nhất khi d đi qua hai đường tròn sao cho C và D thẳng hàng với B và nằm trên đường nối tâm hai đường tròn.
• Kết luận:

CD daˋi nhaˆˊt khi d laˋ đường thẳng đi qua B noˆˊi caˊc taˆm O, O’.\(\)

Vậy

• a) \(\angle A C D , \angle C A D\) không đổi vì là góc nội tiếp chắn cung AB cố định.
• b) CD lớn nhất khi d qua B và đi qua tâm hai đường tròn.

1. Nhận xét quan trọng:
2. • \(D E\) là đường kính ⇒ \(\angle D A E = 90^{\circ}\) (định lý đường kính).
   • Vậy \(A , D , E\) thẳng hàng với trục trực tâm hình chiếu lên BC.
3. Xét tứ giác nội tiếp:
4. • Các tứ giác \(A D E N\) nội tiếp vì \(\angle D A E = 90^{\circ}\).
   • Sử dụng tính chất đường chéo của tứ giác nội tiếp:
     Nếu \(A D E N\) nội tiếp, thì giao điểm các đường chéo cũng thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).
5. Đường thẳng EM và DN:
   \(\angle D P N = \angle D A E = 90^{\circ} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } P \in \left(\right. O \left.\right)\)
6. • \(M , N\) là giao điểm AD, AE với BC ⇒ dùng tính chất hình học biến đổi (theo Desargues hay radical axis)
   • Ta thấy DN và EM cắt nhau trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nhờ tính chất các góc nội tiếp:

Kết luận ngắn gọn

• Vì \(D E\) là đường kính ⇒ \(\angle D A E = 90^{\circ}\)
• Tứ giác \(A D E N\) nội tiếp ⇒ giao điểm các đường chéo DN và EM nằm trên (O)

bn hãy lên google và gõ @Nguyễn Trí Hào OLM thì sẽ tìm ra nha bn

a) Chứng minh B, I, J thẳng hàng

Chọn tọa độ vectơ: \(A = 0\), \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B}\), \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{C}\)

\(\overset{⃗}{B I} = \overset{⃗}{A I} - \overset{⃗}{A B} = \frac{3}{4} \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}\) \(\overset{⃗}{B J} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{C} - \frac{2}{3} \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{B} = - \frac{5}{3} \overset{⃗}{B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{C}\)

Kiểm tra: \(\overset{⃗}{B J} = t \overset{⃗}{B I}\) ⇒ thẳng hàng.

b) Xác định điểm J

\(\overset{⃗}{B J} = \frac{6}{5} \overset{⃗}{B I} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{B J} = - \frac{5}{3} \overset{⃗}{B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{C} \left(\right. \text{theo}\&\text{nbsp};\text{y} \hat{\text{e}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{to} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{n} \left.\right)\)

\(\overset{⃗}{B J}\) đã cho → J xác định.

c) Biểu diễn \(\overset{⃗}{I K}\)

Trung điểm \(K\) của \(B C\):

\(\overset{⃗}{A K} = \overset{⃗}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{A C - A B} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{A C} ?\)

Chọn \(A = 0\): \(\overset{⃗}{K} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{C}\)

\(\overset{⃗}{A I} = \frac{3}{4} \overset{⃗}{C}\)

\(\overset{⃗}{I K} = \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{I} = \left(\right. \frac{1}{2} \overset{⃗}{B} + \frac{1}{2} \overset{⃗}{C} \left.\right) - \frac{3}{4} \overset{⃗}{C} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{B} - \frac{1}{4} \overset{⃗}{C}\)

Với \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{C}\):

khum:[

:. khum

:< khum

um bn cx vậy

Ta có hệ vectơ:

⎨​a+b+c=0

2a−b+4c=0​\(\)

Giải ngắn gọn

1. Từ phương trình 1:

\(\overset{⃗}{b} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c}\)

1. Thay vào phương trình 2:

\(2 \overset{⃗}{a} - \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c} \left.\right) + 4 \overset{⃗}{c} = 0\) \(2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{c} + 4 \overset{⃗}{c} = 0\) \(3 \overset{⃗}{a} + 5 \overset{⃗}{c} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{a} = - \frac{5}{3} \overset{⃗}{c}\)

1. Thay trở lại:

\(\overset{⃗}{b} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{c} = \frac{5}{3} \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{c} = \frac{2}{3} \overset{⃗}{c}\)

Kết luận

\(\overset{⃗}{a} = - \frac{5}{3} \overset{⃗}{c} , \overset{⃗}{b} = \frac{2}{3} \overset{⃗}{c}\)

⇒ \(\overset{⃗}{a} , \overset{⃗}{b} , \overset{⃗}{c}\) cùng phương với \(\overset{⃗}{c}\)

3^x . 3^1 + 3^x: 3^1 = 90

3^x . 3 + 3^x. 1/3 =90

3^x . (3+1/3) = 90

3^x . 10/3 = 90

3^x= 90:10/3

3^x= 27

3^x= 3^3

⇒x=3

Vậy x=3