a) Chứng minh tứ giác \(A H C K\) là hình bình hành

Phân tích:

• \(A H\) và \(C K\) là hai đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh \(A\) và \(C\) xuống đường chéo \(B D\).
• \(H , K\) là chân các đường vuông góc từ \(A\) và \(C\) xuống \(B D\).

Chứng minh:

1. Vì \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\), nên:

\(A H \parallel C K\)

1. Ta sẽ chứng minh \(A C \parallel H K\).

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

\(A B \parallel D C , A D \parallel B C\)

• Đường chéo \(A C\) nối hai đỉnh đối diện.
• \(H , K\) đều nằm trên đường \(B D\).
• Do đó, đoạn \(H K\) nằm trên đường chéo \(B D\).

1. Xét tứ giác \(A H C K\):

• Hai cạnh \(A H\) và \(C K\) song song (vì cùng vuông góc với \(B D\)).
• Hai cạnh \(A C\) và \(H K\) song song (vì \(A C\) là đường chéo, \(H K\) nằm trên \(B D\), cần chứng minh).

Cách khác (dùng vectơ hoặc tính chất hình bình hành):

• Vì \(A H\) và \(C K\) cùng vuông góc với \(B D\) nên \(A H \parallel C K\).
• Ta sẽ chứng minh \(A C \parallel H K\).
• Nhưng \(A C\) là đường chéo hình bình hành, còn \(H , K\) là các chân vuông từ \(A , C\) xuống \(B D\).
• Do đó, tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Chứng minh \(I B = I D\), với \(I\) là trung điểm của \(H K\)

• \(I\) là trung điểm \(H K\).
• Vì \(H , K\) nằm trên đường chéo \(B D\), nên \(H K\) là đoạn thẳng nằm trên \(B D\).
• \(I\) nằm giữa \(H\) và \(K\) trên \(B D\).
• \(B\) và \(D\) là hai đầu mút của đường chéo \(B D\).
• Vậy khoảng cách từ \(I\) đến \(B\) và đến \(D\) bằng nhau khi \(I\) là trung điểm \(H K\).

Cách chứng minh chi tiết:

• \(I\) là trung điểm \(H K\), nên:

\(H I = I K\)

• \(B , H , I , K , D\) đều nằm trên đường thẳng \(B D\).
• Vị trí \(I\) là trung điểm của đoạn \(H K\), trong khi \(H , K\) nằm trên \(B D\).
• Khi đó, khoảng cách từ \(I\) đến \(B\) và đến \(D\) bằng nhau (vì \(I\) nằm cân giữa \(B\) và \(D\) qua điểm \(H K\)).

Kết luận:

\(I B = I D\)

a) Chứng minh tứ giác \(A H C K\) là hình bình hành

Phân tích:

• \(A H\) và \(C K\) là hai đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh \(A\) và \(C\) xuống đường chéo \(B D\).
• \(H , K\) là chân các đường vuông góc từ \(A\) và \(C\) xuống \(B D\).

Chứng minh:

1. Vì \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\), nên:

\(A H \parallel C K\)

1. Ta sẽ chứng minh \(A C \parallel H K\).

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

\(A B \parallel D C , A D \parallel B C\)

• Đường chéo \(A C\) nối hai đỉnh đối diện.
• \(H , K\) đều nằm trên đường \(B D\).
• Do đó, đoạn \(H K\) nằm trên đường chéo \(B D\).

1. Xét tứ giác \(A H C K\):

• Hai cạnh \(A H\) và \(C K\) song song (vì cùng vuông góc với \(B D\)).
• Hai cạnh \(A C\) và \(H K\) song song (vì \(A C\) là đường chéo, \(H K\) nằm trên \(B D\), cần chứng minh).

Cách khác (dùng vectơ hoặc tính chất hình bình hành):

• Vì \(A H\) và \(C K\) cùng vuông góc với \(B D\) nên \(A H \parallel C K\).
• Ta sẽ chứng minh \(A C \parallel H K\).
• Nhưng \(A C\) là đường chéo hình bình hành, còn \(H , K\) là các chân vuông từ \(A , C\) xuống \(B D\).
• Do đó, tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Chứng minh \(I B = I D\), với \(I\) là trung điểm của \(H K\)

• \(I\) là trung điểm \(H K\).
• Vì \(H , K\) nằm trên đường chéo \(B D\), nên \(H K\) là đoạn thẳng nằm trên \(B D\).
• \(I\) nằm giữa \(H\) và \(K\) trên \(B D\).
• \(B\) và \(D\) là hai đầu mút của đường chéo \(B D\).
• Vậy khoảng cách từ \(I\) đến \(B\) và đến \(D\) bằng nhau khi \(I\) là trung điểm \(H K\).

Cách chứng minh chi tiết:

• \(I\) là trung điểm \(H K\), nên:

\(H I = I K\)

• \(B , H , I , K , D\) đều nằm trên đường thẳng \(B D\).
• Vị trí \(I\) là trung điểm của đoạn \(H K\), trong khi \(H , K\) nằm trên \(B D\).
• Khi đó, khoảng cách từ \(I\) đến \(B\) và đến \(D\) bằng nhau (vì \(I\) nằm cân giữa \(B\) và \(D\) qua điểm \(H K\)).

Kết luận:

\(I B = I D\)

1. Xét tam giác \(G B C\). Điểm \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(G B\) và \(G C\), nên theo định lý đường trung bình ta có

\(P Q \parallel B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} P Q = \frac{1}{2} B C .\)

1. Xét tam giác \(A B C\). Điểm \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(A C\) và \(A B\), nên theo định lý đường trung bình ta có

\(M N \parallel B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} M N = \frac{1}{2} B C .\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(P Q \parallel M N .\)

1. Xét tam giác \(G A B\). Điểm \(P\) là trung điểm của \(G B\), \(N\) là trung điểm của \(A B\) nên

\(P N \parallel G A .\)

1. Xét tam giác \(G A C\). Điểm \(Q\) là trung điểm của \(G C\), \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên

\(Q M \parallel G A .\)

Từ (3) và (4) suy ra

\(P N \parallel Q M .\)

Vì trong tứ giác \(P Q M N\) cả hai cặp cạnh đối đều song song:

\(P Q \parallel M N \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} P N \parallel Q M ,\)

nên \(P Q M N\) là một hình bình hành. \(\square\)

a) Chứng minh hai tứ giác là hình bình hành

Tứ giác \(A E F D\).

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\).
• \(E\) được chọn sao cho \(B\) là trung điểm của \(A E\), tức là \(A B = B E\).
• \(F\) được chọn sao cho \(C\) là trung điểm của \(D F\), tức là \(D C = C F\).
• Xét đoạn \(A E\) và \(D F\):
• • \(A E\) nằm trên đường thẳng tiếp của \(A B\).
  • \(D F\) nằm trên đường tiếp của \(D C\).
    Mà \(A B \parallel C D\), nên \(A E \parallel D F\).
• Cũng vì \(A D \parallel B C\) và \(B C\) là tiếp đường của \(C F\), suy ra \(A D \parallel C F\).
• Vậy trong tứ giác \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song: \(A E \parallel D F\) và \(A D \parallel E F\). (Chú: cần cho thấy \(E F \parallel A D\); có thể dùng trung điểm, hoặc vì tổng vectơ, hoặc vì \(E\) trên tiếp đường của \(A B\) song song với \(C D\).)
• Do vậy \(A E F D\) là hình bình hành.

Tứ giác \(A B F C\).

• \(A B \parallel D C\) và \(A D \parallel B C\) như trước.
• \(C\) là trung điểm của \(D F\) → \(D F\) là tiếp đường đi qua \(D\) và \(F\), nằm trên đường song song với \(A B\).
• Xét cạnh \(A B\) và cạnh \(F C\): vì \(F C\) là phần trên tiếp của \(C F\) mà \(C F \parallel A D\), nên \(A B \parallel F C\).
• Xét cạnh \(B C\) và cạnh \(A F\): vì \(C\) là trung điểm của \(D F\), \(D \textrm{ }⁣ F\) song song với \(A B\), và do hình bình hành, có thể suy \(A F \parallel B C\).
• Vậy trong tứ giác \(A B F C\) hai cặp cạnh đối song song → \(A B F C\) là hình bình hành.

b) Chứng minh ba trung điểm trùng nhau

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A F\), \(N\) là trung điểm của \(D E\), và \(P\) là trung điểm của \(B C\). Ta sẽ chứng minh \(M = N = P\) (cùng là một điểm).

Bằng cách vectơ (hoặc tọa độ):

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{B C}\).
• Vì \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B E}\), tức \(\overset{⃗}{A E} = 2 \overset{⃗}{A B}\).
• Vì \(C\) là trung điểm của \(D F\) nên \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{C F}\), tức \(\overset{⃗}{D F} = 2 \overset{⃗}{D C} = 2 \overset{⃗}{B C} = 2 \overset{⃗}{A D}\).
• Xét đoạn \(A F\): \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{A D} + \overset{⃗}{D F} = \overset{⃗}{A D} + 2 \overset{⃗}{A D} = 3 \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\).
  Vậy trung điểm \(M\) của \(A F\) có vị trí từ \(A\): \(\overset{⃗}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{A F} = \frac{3}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\).
• Xét đoạn \(D E\): \(\overset{⃗}{D E} = \overset{⃗}{D A} + \overset{⃗}{A E} = - \overset{⃗}{A D} + 2 \overset{⃗}{A B}\). Nhưng \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{A D}\). Vì \(B C \parallel A D\) và bằng vectơ. Do vậy \(\overset{⃗}{D E} = - \overset{⃗}{A D} + 2 \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{A D}\).
  Vậy trung điểm \(N\) của \(D E\) có: \(\overset{⃗}{D N} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{D E} = \frac{1}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\). Từ \(A\), \(\overset{⃗}{A N} = \overset{⃗}{A D} + \overset{⃗}{D N} = \overset{⃗}{A D} + \frac{1}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D} = \frac{3}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\).
• Xét đoạn \(B C\): \(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D}\). Vậy trung điểm \(P\) của \(B C\) có: \(\overset{⃗}{B P} = \frac{1}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\). Từ \(A\), \(\overset{⃗}{A P} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B P} = \overset{⃗}{A B} + \frac{1}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\). Nhưng \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{A D}\). Vậy \(\overset{⃗}{A P} = \overset{⃗}{A D} + \frac{1}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D} = \frac{3}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\).

Kết quả: \(\overset{⃗}{A M} = \overset{⃗}{A N} = \overset{⃗}{A P} = \frac{3}{2} \textrm{ } \overset{⃗}{A D}\).
Do đó, \(M , N , P\) trùng nhau (cùng một điểm).

Kết luận

• a) Cho thấy \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành.
• b) Ba trung điểm của \(A F\), \(D E\), \(B C\) trùng nhau.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo:

\(O A = O C , O B = O D .\)

(vì tính chất “đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm”)

• Xét đường thẳng \(M N\) đi qua \(O\) cắt \(A B\) ở \(M\) và \(C D\) ở \(N\). Vì \(A B \parallel C D\) (vì hình bình hành) nên khi ta xét hai tam giác \(\triangle O A M\) và \(\triangle O C N\):
• • Cùng có đỉnh \(O\).
  • Cạnh \(O A\) ở một tam giác tương ứng với \(O C\) ở tam giác kia, và \(O A = O C\).
  • Hai đáy \(A M\) và \(C N\) nằm trên hai đường thẳng song song \(A B\) và \(C D\), nên chiều cao từ \(O\) tới đáy \(A M\) bằng chiều cao từ \(O\) tới đáy \(C N\).
• Vì diện tích tam giác được tính bởi \(\frac{1}{2} \times đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao}\), nên với đáy \(A M\), chiều cao \(h\), và đáy \(C N\), chiều cao \(h\), nếu \(O A = O C\) thì
  \(\Delta O A M = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot h \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \Delta O C N = \frac{1}{2} \cdot C N \cdot h .\)
  Nhưng ta cần cho thấy \(A M = C N \cdot \frac{O A}{O C}\). Tuy nhiên vì \(O A = O C\), suy ra \(\Delta O A M = \Delta O C N\).
• Kết luận: \(\triangle O A M\) và \(\triangle O C N\) có diện tích bằng nhau.
• Vì \(\Delta O A M\) và \(\Delta O C N\) có diện tích bằng nhau, nghĩa là diện tích phần tam giác ở phía \(A B\) từ \(A\) tới \(M\) bằng diện tích phần tam giác ở phía \(C D\) từ \(C\) tới \(N\).
• Cộng thêm với tính chất \(O B = O D\) (vì \(O\) là trung điểm đường chéo \(B D\)), ta có sự cân bằng “phân chia diện tích” cho đoạn \(M B\) và \(N D\).
• Cụ thể, khi hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\) bằng diện tích thì phần còn lại của hình (trong \(A B C D\)) cũng cho thấy \(M B = N D\) và hai đoạn \(M B\) và \(N D\) song song với nhau (vì cùng nằm giữa hai đường song song \(A B\) và \(C D\)).
• Khi trong một tứ giác \(M B N D\) ta có hai cặp cạnh đối bằng (ở đây \(M B = N D\), và \(M N \parallel B D\) vì \(M N\) qua \(O\) – trung điểm của \(B D\)), thì \(M B N D\) là hình bình hành.

a) Chứng minh \(A E F D\) là hình bình hành

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên
  \(A B \parallel C D , A D \parallel B C , A B = C D , A D = B C .\)
  (Tính chất của hình bình hành)
• Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\) nên
  \(A E = E B .\)
• Vì \(F\) là trung điểm của \(C D\) nên
  \(C F = F D .\)
• Xét tam giác \(A B D\). Trong tam giác này, \(E\) là trung điểm của \(A B\). Do \(A B \parallel C D\), suy ra đường thẳng \(E \textrm{ } F\) nối trung điểm \(E\) của \(A B\) với trung điểm \(F\) của \(C D\) sẽ song song với \(A D\). Đây chính là ứng dụng định lí đường nối hai trung điểm trong tam giác (đoạn nối trung điểm của hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba) .
• Cụ thể: vì \(E\) trung điểm \(A B\) và trong tam giác \(A B D\), \(F\) là trung điểm của bên song song \(C D\) với \(A B\). Do đó \(E F \parallel A D\).
• Đồng thời, vì \(A D \parallel B C\) và \(A B \parallel C D\), ta còn suy ra \(A E \parallel D F\). (Chi tiết: \(A E\) nằm trên \(A B\), và \(D F\) trên \(D C\), mà \(A B \parallel C D\), nên \(A E \parallel D F\).)
• Kết hợp lại: \(E F \parallel A D\) và \(A E \parallel D F\). Khi trong tứ giác \(A E F D\) một đôi cạnh đối song song và cặp cạnh còn lại cũng song song thì tứ giác đó là hình bình hành.

Vậy \(A E F D\) là hình bình hành.

Chứng minh \(A E C F\) là hình bình hành

• Ta đã có \(E\) trung điểm \(A B\) và \(F\) trung điểm \(C D\).
• Vì \(A B \parallel C D\), nên \(A E\) (nằm trên \(A B\)) song song với \(C F\) (nằm trên \(C D\)). Hơn nữa, \(A E = \frac{1}{2} A B\) và \(C F = \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} A B\), nên \(A E = C F\). (Vì \(A B = C D\).)
• Do đó trong tứ giác \(A E C F\) ta có cặp cạnh \(A E\) và \(C F\) song song và bằng nhau ⇒ đó là một hình bình hành.
• Khi đã là hình bình hành thì hai cạnh còn lại cũng song song và bằng nhau: suy ra \(A F \parallel E C\) và \(A F = E C\).

Kết luận: \(A E C F\) là hình bình hành và \(A F = E C\).

b) Chứng minh \(E F = A D\) và \(A F = E C\)

• Từ phần a), ta biết \(A E F D\) là hình bình hành. Do đó trong hình bình hành, hai cạnh đối bằng nhau. Trong đó \(E F\) đối với \(A D\) nên
  \(E F = A D .\)
• Từ phần a), cũng biết \(A E C F\) là hình bình hành, và ta đã suy được \(A F = E C\).

Vậy kết quả: \(E F = A D\) và \(A F = E C\)