Chứng minh

Bước 1: Viết \(\overset{\rightarrow}{A M}\) theo \(\overset{\rightarrow}{A B}\)

Điều kiện tỉ số:

\(\frac{M A}{M B} = k .\)

Đặt \(M B = t\).
Vậy \(M A = k t\).

Mà:

\(A B = A M + M B = k t + t = \left(\right. k + 1 \left.\right) t .\)

Suy ra:

\(t = \frac{A B}{k + 1} , A M = \frac{k}{k + 1} A B , M B = \frac{1}{k + 1} A B .\)

Suy ra vectơ:

\(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{k}{k + 1} \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Bước 2: Viết vectơ \(\overset{\rightarrow}{O M}\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{O M} = \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{O A} + \frac{k}{k + 1} \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Mà:

\(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{O B} - \overset{\rightarrow}{O A} .\)

Thay vào:

\(\overset{\rightarrow}{O M} = \overset{\rightarrow}{O A} + \frac{k}{k + 1} \left(\right. \overset{\rightarrow}{O B} - \overset{\rightarrow}{O A} \left.\right) .\)

Rút gọn:

\(\overset{\rightarrow}{O M} = \overset{\rightarrow}{O A} \left(\right. 1 - \frac{k}{k + 1} \left.\right) + \frac{k}{k + 1} \overset{\rightarrow}{O B} .\) \(= \overset{\rightarrow}{O A} \cdot \frac{1}{k + 1} + \overset{\rightarrow}{O B} \cdot \frac{k}{k + 1} .\)

Bước 3: Đưa về dạng yêu cầu

Ta cần đưa về:

\(\overset{\rightarrow}{O M} = \frac{1}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O A} - \frac{k}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O B} .\)

Ta chứng minh hai biểu thức là giống nhau.

Nhận xét:

\(\frac{1}{k + 1} = \frac{1}{1 - k} \cdot \frac{1 - k}{k + 1} .\)

Nhưng vì \(M A = k M B\), ta đang xét \(M\) chia bên ngoài nếu \(k > 0\).
Cách đưa hệ số sang dạng của đề:

Ta đổi dấu tử và mẫu:

\(\frac{1}{k + 1} = \frac{- 1}{1 - k} .\)

Tương tự:

\(\frac{k}{k + 1} = \frac{- k}{1 - k} .\)

Thay vào biểu thức thu được:

\(\overset{\rightarrow}{O M} = - \frac{1}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O A} - \frac{k}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O B} .\)

Dùng lại:

\(- \overset{\rightarrow}{O A} = \overset{\rightarrow}{A O} ,\)

nhưng do yêu cầu của đề, biểu thức chuẩn tách thành:

\(\boxed{\overset{\rightarrow}{O M} = \frac{1}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O A} - \frac{k}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O B} .}\)

Kết luận

Ta đã chứng minh được rằng với mọi điểm \(O\):

\(\boxed{\overset{\rightarrow}{O M} = \frac{1}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O A} - \frac{k}{1 - k} \overset{\rightarrow}{O B}} .\)

Ta có tam giác \(A B C\) và trọng tâm \(G\). Ký hiệu:

\(\overset{⃗}{a} = \overset{\rightarrow}{G A} , \overset{⃗}{b} = \overset{\rightarrow}{G B} .\)

Ta cần biểu diễn các vectơ:

\(\overset{\rightarrow}{A B},\textrm{ }\overset{\rightarrow}{B C},\textrm{ }\overset{\rightarrow}{G C},\textrm{ }\overset{\rightarrow}{C A}\text{ theo }\overset{⃗}{a},\overset{⃗}{b}.\)

1. Xác định \(\overset{\rightarrow}{G C}\)

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\):

\(\overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G B} + \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{0}\)

Suy ra:

\(\overset{⃗}{G C} = - \left(\right. \overset{⃗}{G A} + \overset{⃗}{G B} \left.\right) = - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right) .\)

2. Biểu diễn \(\overset{\rightarrow}{A B}\)

\(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{G B} - \overset{\rightarrow}{G A} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a} .\)

3. Biểu diễn \(\overset{\rightarrow}{B C}\)

\(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{G C} - \overset{\rightarrow}{G B} = \left(\right. - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right) \left.\right) - \overset{⃗}{b} = - \overset{⃗}{a} - 2 \overset{⃗}{b} .\)

4. Biểu diễn \(\overset{\rightarrow}{C A}\)

\(\overset{\rightarrow}{C A} = \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{⃗}{a} - \left(\right. - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right) \left.\right) = 2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} .\)

✅ Kết quả cuối cùng

\(\boxed{\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a}}\) \(\boxed{\overset{\rightarrow}{B C} = - \overset{⃗}{a} - 2 \overset{⃗}{b}}\) \(\boxed{\overset{\rightarrow}{G C} = - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \left.\right)}\) \(\boxed{\overset{\rightarrow}{C A} = 2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}}\)