Tính khoảng cách \(A D\). (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải:

Vẽ \(A K ⊥ B C\) tại K, \(A H ⊥ \&\text{nbsp}; D C\) tại \(H\).

Khi đó tứ giác \(A K C H\) là hình chữ nhật nên \(A K = C H\); \(A H = C K\)

Trong tam giác vuông \(A K B\) vuông tại \(K\) có \(A B = 10\) cm, \(\hat{A B K} = 7 0^{\circ}\) 

\(A K = A B . \&\text{nbsp}; sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\) suy ra \(A K = C H = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(D H = C D - H C = 15 - 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

\(B K = A B . cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Suy ra \(C K = C B - B K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(A H = C K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(A D H\):

\(A D = \sqrt{A H^{2} + D H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 13 - 10. cos ⁡ 7 0^{\circ} \left.\right)^{2} + \left(\right. 15 - 10. sin ⁡ 7 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \left.\right)^{2}} \approx 11 , 1\) m.

a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

Gọi \(x\), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (\(x , y > 0\))

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là \(800\) triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6 \%\)/năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8 \%\)/năm, nên ta có phương trình

\(0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left{\right. & x + y = 800 \\ & 0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left{\right. & x = 500 \\ & y = 300\) (thỏa mãn)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng và \(300\) triệu đồng.

a) x>hoặc=18

b) x<hoặc= 700

c) x>hoặc= 1000000

d) 2x-3>-7x+2

Xét Δ A B C ΔABC vuông tại B B, ta có: tan ⁡ B A C ^ = B C A B = 2 2 , 5 = 0 , 8 tan BAC = AB BC ​ = 2,5 2 ​ =0,8 (tỉ số lượng giác của góc nhọn) Suy ra B A C ^ ≈ 38 , 7 ∘ BAC ≈38,7 ∘ Ta có: B A D ^ = B A C ^ + C A D ^ = 38 , 7 ∘ + 2 0 ∘ = 58 , 7 ∘ BAD = BAC + CAD =38,7 ∘ +20 ∘ =58,7 ∘ Xét Δ A B D ΔABD vuông tại B B, ta có: tan ⁡ B A D ^ = B D A B tan BAD = AB BD ​ (tỉ số lượng giác của góc nhọn) Suy ra B D = A B . tan ⁡ B A D ^ = 2 , 5. tan ⁡ 58 , 7 ∘ ≈ 4 , 1 BD=AB.tan BAD =2,5.tan58,7 ∘ ≈4,1 m. C D = B D − B C = 4 , 1 − 2 = 2 , 1 CD=BD−BC=4,1−2=2,1 m. Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2 , 1 2,1 m.

Phần tự luận (8 điểm) Bài GV giao Bài 1 Câu 13. Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau: a) Tuần tới, nhiệt độ t t ( ∘ C ∘ C) tại Tokyo là trên − 5 ∘ C −5 ∘ C. b) Để được điều khiển xe máy điện thì tuổi x x của một người phải ít nhất là 16 16 tuổi. c) Mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc của người lao động là 20 000 20000 đồng. d) y y là số dương. Hướng dẫn giải: a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0. a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0. Bài 2 Câu 14. (2,0 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x + 6 x + 5 + 3 2 = 2 x+5 x+6 ​ + 2 3 ​ =2; b) { x + 3 y = − 2 5 x + 8 y = 11 { ​ x+3y=−2 5x+8y=11 ​ . Hướng dẫn giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ − 5 x  =−5 Ta có: x + 6 x + 5 + 3 2 = 2 x+5 x+6 ​ + 2 3 ​ =2 x + 6 x + 5 = 1 2 x+5 x+6 ​ = 2 1 ​ 2 ( x + 6 ) = x + 5 2(x+6)=x+5 2 x + 12 = x + 5 2x+12=x+5 x = − 7 x=−7 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = − 7 x=−7. b) { x + 3 y = − 2 5 x + 8 y = 11 { ​ x+3y=−2 5x+8y=11 ​ { − 5 x − 15 y = 10 5 x + 8 y = 11 { ​ −5x−15y=10 5x+8y=11 ​ { − 7 y = 21 5 x + 8 y = 11 { ​ −7y=21 5x+8y=11 ​ { y = − 3 5 x + 8. ( − 3 ) = 11 { ​ y=−3 5x+8.(−3)=11 ​ { y = − 3 x = 7 { ​ y=−3 x=7 ​ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 7 ; − 3 ) (x;y)=(7;−3). Phần tự luận (8 điểm) Bài GV giao Bài 1 Câu 13. Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau: a) Tuần tới, nhiệt độ t t ( ∘ C ∘ C) tại Tokyo là trên − 5 ∘ C −5 ∘ C. b) Để được điều khiển xe máy điện thì tuổi x x của một người phải ít nhất là 16 16 tuổi. c) Mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc của người lao động là 20 000 20000 đồng. d) y y là số dương. Hướng dẫn giải: a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0. a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0. Bài 2 Câu 14. (2,0 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x + 6 x + 5 + 3 2 = 2 x+5 x+6 ​ + 2 3 ​ =2; b) { x + 3 y = − 2 5 x + 8 y = 11 { ​ x+3y=−2 5x+8y=11 ​ . Hướng dẫn giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ − 5 x  =−5 Ta có: x + 6 x + 5 + 3 2 = 2 x+5 x+6 ​ + 2 3 ​ =2 x + 6 x + 5 = 1 2 x+5 x+6 ​ = 2 1 ​ 2 ( x + 6 ) = x + 5 2(x+6)=x+5 2 x + 12 = x + 5 2x+12=x+5 x = − 7 x=−7 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = − 7 x=−7. b) { x + 3 y = − 2 5 x + 8 y = 11 { ​ x+3y=−2 5x+8y=11 ​ { − 5 x − 15 y = 10 5 x + 8 y = 11 { ​ −5x−15y=10 5x+8y=11 ​ { − 7 y = 21 5 x + 8 y = 11 { ​ −7y=21 5x+8y=11 ​ { y = − 3 5 x + 8. ( − 3 ) = 11 { ​ y=−3 5x+8.(−3)=11 ​ { y = − 3 x = 7 { ​ y=−3 x=7 ​ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 7 ; − 3 ) (x;y)=(7;−3). Bài 3 Câu 15. (1,0 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 60 km. Khi từ B trở về A, do trời mưa người đó giảm tốc độ 10 10 km/h so với lúc đi nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 30 phút. Tính tốc độ lúc về của người đó. Hướng dẫn giải: Gọi tốc độ của xe máy lúc về là x x (km/h), x > 0 x>0 Tốc độ của xe máy lúc đi là: x + 10 x+10 (km/h) Thời gian của xe máy lúc đi là 60 x + 10 x+10 60 ​ (h) Thời gian của xe máy lúc về là 60 x x 60 ​ (h) Theo bài ra ta có phương trình: 60 x − 60 x + 10 = 1 2 x 60 ​ − x+10 60 ​ = 2 1 ​ 120 x + 1200 2 x ( x + 10 ) − 120 x 2 x ( x + 10 ) = x ( x + 10 ) 2 x ( x + 10 ) 2x(x+10) 120x+1200 ​ − 2x(x+10) 120x ​ = 2x(x+10) x(x+10) ​ 120 x + 1200 − 120 x = x ( x + 10 ) 120x+1200−120x=x(x+10) x 2 + 10 x = 1 200 x 2 +10x=1200 x 2 + 10 x + 25 = 1 225 x 2 +10x+25=1225 ( x + 5 ) 2 = 1 225 (x+5) 2 =1225 [ x + 5 = 35 x + 5 = − 35 [ ​ x+5=35 x+5=−35 ​ [ x = 30 x = − 40 [ ​ x=30 x=−40 ​ Đối chiếu điều kiện, ta có: x = 30 x=30 thỏa mãn. Vậy tốc độ của xe máy lúc về là 30 30 km/h. Gọi tốc độ của xe máy lúc về là x x (km/h), x > 0 x>0 Tốc độ của xe máy lúc đi là: x + 10 x+10 (km/h) Thời gian của xe máy lúc đi là 60 x + 10 x+10 60 ​ (h) Thời gian của xe máy lúc về là 60 x x 60 ​ (h) Theo bài ra ta có phương trình: 60 x − 60 x + 10 = 1 2 x 60 ​ − x+10 60 ​ = 2 1 ​ 120 x + 1200 2 x ( x + 10 ) − 120 x 2 x ( x + 10 ) = x ( x + 10 ) 2 x ( x + 10 ) 2x(x+10) 120x+1200 ​ − 2x(x+10) 120x ​ = 2x(x+10) x(x+10) ​ 120 x + 1200 − 120 x = x ( x + 10 ) 120x+1200−120x=x(x+10) x 2 + 10 x = 1 200 x 2 +10x=1200 x 2 + 10 x + 25 = 1 225 x 2 +10x+25=1225 ( x + 5 ) 2 = 1 225 (x+5) 2 =1225 [ x + 5 = 35 x + 5 = − 35 [ ​ x+5=35 x+5=−35 ​ [ x = 30 x = − 40 [ ​ x=30 x=−40 ​ Đối chiếu điều kiện, ta có: x = 30 x=30 thỏa mãn. Vậy tốc độ của xe máy lúc về là 30 30 km/h. Bài 4 Câu 16. (2,0 điểm) 1. So sánh sin ⁡ 3 5 ∘ sin35 ∘ và cos ⁡ 5 5 ∘ cos55 ∘ ; tan ⁡ 2 8 ∘ tan28 ∘ và cot ⁡ 6 2 ∘ cot62 ∘ . 2. Cho tam giác A B C ABC vuông tại A A có cạnh huyền bằng 20 20 cm, B ^ = 3 6 ∘ B =36 ∘ . Giải thích vì sao A B ≈ 16 , 18 AB≈16,18 cm. Hướng dẫn giải: 1) sin ⁡ 3 5 ∘ = cos ⁡ ( 9 0 ∘ − 3 5 ∘ ) = cos ⁡ 5 5 ∘ sin35 ∘ =cos(90 ∘ −35 ∘ )=cos 55 ∘ ; tan ⁡ 2 8 ∘ = cot ⁡ ( 9 0 ∘ − 2 8 ∘ ) = cot ⁡ 6 2 ∘ tan28 ∘ =cot(90 ∘ −28 ∘ )=cot62 ∘ . 2) Xét Δ A B C ΔABC vuông tại A A, ta có: B C = 20 BC=20 cos ⁡ B ^ = A B B C = A B 20 = cos ⁡ 3 6 ∘ cos B = BC AB ​ = 20 AB ​ =cos36 ∘ Suy ra A B = B C . cos ⁡ 3 6 ∘ ≈ 16 , 18 AB=BC.cos36 ∘ ≈16,18 cm.

Gọi tốc độ của xe máy lúc về là x x (km/h), x > 0 x>0 Tốc độ của xe máy lúc đi là: x + 10 x+10 (km/h) Thời gian của xe máy lúc đi là 60 x + 10 x+10 60 ​ (h) Thời gian của xe máy lúc về là 60 x x 60 ​ (h) Theo bài ra ta có phương trình: 60 x − 60 x + 10 = 1 2 x 60 ​ − x+10 60 ​ = 2 1 ​ 120 x + 1200 2 x ( x + 10 ) − 120 x 2 x ( x + 10 ) = x ( x + 10 ) 2 x ( x + 10 ) 2x(x+10) 120x+1200 ​ − 2x(x+10) 120x ​ = 2x(x+10) x(x+10) ​ 120 x + 1200 − 120 x = x ( x + 10 ) 120x+1200−120x=x(x+10) x 2 + 10 x = 1 200 x 2 +10x=1200 x 2 + 10 x + 25 = 1 225 x 2 +10x+25=1225 ( x + 5 ) 2 = 1 225 (x+5) 2 =1225 [ x + 5 = 35 x + 5 = − 35 [ ​ x+5=35 x+5=−35 ​ [ x = 30 x = − 40 [ ​ x=30 x=−40 ​ Đối chiếu điều kiện, ta có: x = 30 x=30 thỏa mãn. Vậy tốc độ của xe máy lúc về là 30 30 km/h.

Phần tự luận (8 điểm) Bài GV giao Bài 1 Câu 13. Viết bất đẳng thức để mô tả mỗi tình huống sau: a) Tuần tới, nhiệt độ t t ( ∘ C ∘ C) tại Tokyo là trên − 5 ∘ C −5 ∘ C. b) Để được điều khiển xe máy điện thì tuổi x x của một người phải ít nhất là 16 16 tuổi. c) Mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc của người lao động là 20 000 20000 đồng. d) y y là số dương. Hướng dẫn giải: a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0. a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0. Bài 2 Câu 14. (2,0 điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x + 6 x + 5 + 3 2 = 2 x+5 x+6 ​ + 2 3 ​ =2; b) { x + 3 y = − 2 5 x + 8 y = 11 { ​ x+3y=−2 5x+8y=11 ​ . Hướng dẫn giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ − 5 x  =−5 Ta có: x + 6 x + 5 + 3 2 = 2 x+5 x+6 ​ + 2 3 ​ =2 x + 6 x + 5 = 1 2 x+5 x+6 ​ = 2 1 ​ 2 ( x + 6 ) = x + 5 2(x+6)=x+5 2 x + 12 = x + 5 2x+12=x+5 x = − 7 x=−7 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = − 7 x=−7. b) { x + 3 y = − 2 5 x + 8 y = 11 { ​ x+3y=−2 5x+8y=11 ​ { − 5 x − 15 y = 10 5 x + 8 y = 11 { ​ −5x−15y=10 5x+8y=11 ​ { − 7 y = 21 5 x + 8 y = 11 { ​ −7y=21 5x+8y=11 ​ { y = − 3 5 x + 8. ( − 3 ) = 11 { ​ y=−3 5x+8.(−3)=11 ​ { y = − 3 x = 7 { ​ y=−3 x=7 ​ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 7 ; − 3 ) (x;y)=(7;−3).

a) t > − 5 t>−5. b) x ≥ 16 x≥16. c) Với y y (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y ≥ 20 000 y≥20000. d) y > 0 y>0.

Tam giác \(O A C\) có ba cạnh bằng nhau \(\left(\right. A C = O A = O C \left.\right)\) nên là tam giác đều

Suy ra \(\hat{A} = \hat{C_{1}} = \hat{O_{1}} = 6 0^{\circ}\).

Ta có: \(O A C\) có \(O B = O C\) nên cân tại \(O\) suy ra \(\hat{B} = \hat{C_{2}}\);

\(\hat{O_{1}}\) là góc ngoài của \(\Delta O B C\).

Do đó \(\hat{O_{1}} = \hat{B} + \hat{C_{2}} = 2 \hat{B} = 2 \hat{C_{2}}\)

\(\hat{B} = \hat{C_{2}} = \frac{1}{2} \hat{O_{1}} = 3 0^{\circ}\)

\(\hat{A C B} = \hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 9 0^{\circ}\)

Vậy \(\hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ} ; \hat{C} = 9 0^{\circ}\).

\(\Delta C A B\) có trung tuyến \(C O\) bằng nửa cạnh đối xứng \(A B\) nên vuông tại \(C\) với \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{A} = 6 0^{\circ}\) và \(\hat{B} = 3 0^{\circ}\)

Vậy \(\Delta A B C\) có \(\hat{C} = 9 0^{\circ} ; \hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ}\).