Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A C} = \frac{B C}{A B} = \frac{2}{2 , 5} = 0 , 8\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(\hat{B A C} \approx 38 , 7^{\circ}\)

Ta có: \(\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 38 , 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58 , 7^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B D\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A D} = \frac{B D}{A B}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(B D = A B . tan ⁡ \hat{B A D} = 2 , 5. tan ⁡ 58 , 7^{\circ} \approx 4 , 1\) m.

\(C D = B D - B C = 4 , 1 - 2 = 2 , 1\) m.

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là \(2 , 1\) m.

a) \(t > - 5\).

b) \(x \geq 16\).

c) Với \(y\) (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức \(y \geq 20 000\).

d) \(y > 0\).

a) Hai đường tròn \(\left(\right. A ; 6\) cm\(\left.\right)\) và \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\) cắt nhau tại \(C\) và \(D\) nên \(A C = A D = 6\) cm, \(B C = B D = 4\) cm.

b) \(A B = 8\) cm, \(B C = B D = B I = 4\) cm.

Suy ra \(A I = A B - I B = 8 - 4 = 4\) cm.

Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A B\).

c) Ta có: \(A K = A C = 6\) cm nên \(I K = A K - A I = 6 - 4 = 2\) cm.

Tam giác \(O A C\) có ba cạnh bằng nhau \(\left(\right. A C = O A = O C \left.\right)\) nên là tam giác đều

Suy ra \(\hat{A} = \hat{C_{1}} = \hat{O_{1}} = 6 0^{\circ}\).

Ta có: \(O A C\) có \(O B = O C\) nên cân tại \(O\) suy ra \(\hat{B} = \hat{C_{2}}\);

\(\hat{O_{1}}\) là góc ngoài của \(\Delta O B C\).

Ta có \(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(O A = O B = O C = O D\), suy ra các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nằm trên một đường tròn tâm \(O\).Vậy bán kính \(R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{117}}{2}\).Tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\) có: \(A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 9^{2}} = \sqrt{117}\).

a) Từ giả thiết, ta có \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{r}{R^{'}}\);

\(\frac{O B^{'}}{O B} = \frac{r}{R^{'}}\).

Suy ra \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\).

b) Vì \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

\(A B\) // \(A^{'} B^{'}\).

a) Do \(o\) là tâm đối xứng của \(\left(\right. O \left.\right)\) nên điểm \(N\) đối xứng với điểm \(M\) qua tâm \(O\) phải vừa thuộc \(O M\), vừa thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\).

Vậy \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(O M\) với \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) Do \(A B\) là trục đối xứng của \(\left(\right. O \left.\right)\) nên điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(A B\) phải vừa thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\), vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(A B\).

Vậy \(P\) là giao điểm của \(\left(\right. O \left.\right)\) với đường thẳng đi qua \(n\) và vuông góc với \(A B\).

a) Điểm \(B\) cố định. Điểm \(A\) cách \(B\) một khoảng là \(4\) cm nên \(A\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\).

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\) thì \(O\) là một điểm cố định.

Ta có \(O M = \frac{1}{2} A B = 2\) cm.

Điểm \(M\) cách điểm \(O\) một khoảng \(2\) cm nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O ; 2\) cm\(\left.\right)\).

a) Ta có \(\Delta O A B\) cân tại \(O\) vì \(O A = O B = R\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(A B\) nên \(O M\) là đường trung tuyến của tam giác \(O A B\).

Khi đó \(O M\) cũng là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\).

b) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(A B\) chính là đoạn thẳng \(O M\).

\(M\) là trung điểm của \(A B\) nên \(A M = \frac{A B}{2} = 4\) cm. 

Xét \(\Delta O A M\) vuông tại \(M\), có \(O A^{2} = A M^{2} + O M^{2}\) (định lí Pythagore).

Suy ra \(O M = \sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3\) cm.

a) Ta có \(\Delta O A B\) cân tại \(O\) vì \(O A = O B = R\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(A B\) nên \(O M\) là đường trung tuyến của tam giác \(O A B\).

Khi đó \(O M\) cũng là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\).

b) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(A B\) chính là đoạn thẳng \(O M\).

\(M\) là trung điểm của \(A B\) nên \(A M = \frac{A B}{2} = 4\) cm. 

Xét \(\Delta O A M\) vuông tại \(M\), có \(O A^{2} = A M^{2} + O M^{2}\) (định lí Pythagore).

Suy ra \(O M = \sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3\) cm.