a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(B C\).

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B D C} = \hat{B E C} = 9 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(B D C\) có \(\hat{B D C} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (1)

Xét tam giác \(B E C\) có \(\hat{B E C} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O D = O E = O C = O B\).

Vậy tứ giác \(B C D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm \(B C\).

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ \&\text{nbsp}; A B\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A H\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác \(A D H\) có \(\hat{A D H} = 9 0^{\circ}\) và \(D M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M D = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (3)

Xét tam giác \(A E H\) có \(\hat{A E H} = 9 0^{\circ}\) và \(E M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M E = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(M\) là trung điểm \(A H\), đường kính \(A H\).

Đường tròn \(\left(\right. I ; r \left.\right)\) tiếp xúc với các cạnh \(A B , A C , B C\) theo thứ tự \(M , N , P\).

Ta có: \(S_{A I B} = \frac{1}{2} I M . A B = \frac{1}{2} r . A B\) (1);

\(S_{A I C} = \frac{1}{2} I N . A C = \frac{1}{2} r . A C\) (2);

\(S_{B I C} = \frac{1}{2} r . B C\) (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được: \(\frac{S_{A I B} + S_{A I C} + S_{B I C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{2} r . \left(\right. A B + A C + B C \left.\right)\)

Mà \(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{6.8}{2} = 24\) cm², \(B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\) cm

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2} r \left(\right. 6 + 8 + 10 \left.\right)\) suy ra \(r = 2\) (cm).

a) \(t > - 5\)

b) \(x \geq 16\)

c) Với \(y\) (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức \(y \geq 20 000\).

d) \(y > 0\).

Tam giác \(O A C\) có ba cạnh bằng nhau \(\left(\right. A C = O A = O C \left.\right)\) nên là tam giác đều

Suy ra \(\hat{A} = \hat{C_{1}} = \hat{O_{1}} = 6 0^{\circ}\).

Ta có: \(O A C\) có \(O B = O C\) nên cân tại \(O\) suy ra \(\hat{B} = \hat{C_{2}}\);

\(\hat{O_{1}}\) là góc ngoài của \(\Delta O B C\).

Do đó \(\hat{O_{1}} = \hat{B} + \hat{C_{2}} = 2 \hat{B} = 2 \hat{C_{2}}\)

\(\hat{B} = \hat{C_{2}} = \frac{1}{2} \hat{O_{1}} = 3 0^{\circ}\)

\(\hat{A C B} = \hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 9 0^{\circ}\)

Vậy \(\hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ} ; \hat{C} = 9 0^{\circ}\).

\(\Delta C A B\) có trung tuyến \(C O\) bằng nửa cạnh đối xứng \(A B\) nên vuông tại \(C\) với \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{A} = 6 0^{\circ}\) và \(\hat{B} = 3 0^{\circ}\)

Vậy \(\Delta A B C\) có \(\hat{C} = 9 0^{\circ} ; \hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ}\).

a) Từ giả thiết, ta có \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{r}{R^{'}}\);

\(\frac{O B^{'}}{O B} = \frac{r}{R^{'}}\).

Suy ra \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\).

b) Vì \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

\(A B\) // \(A^{'} B^{'}\).

Ta có \(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(O A = O B = O C = O D\), suy ra các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nằm trên một đường tròn tâm \(O\).

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\) có: \(A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 9^{2}} = \sqrt{117}\).

Vậy bán kính \(R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{117}}{2}\).

a) Hai đường tròn \(\left(\right. A ; 6\) cm\(\left.\right)\) và \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\) cắt nhau tại \(C\) và \(D\) nên \(A C = A D = 6\) cm, \(B C = B D = 4\) cm.

b) \(A B = 8\) cm, \(B C = B D = B I = 4\) cm.

Suy ra \(A I = A B - I B = 8 - 4 = 4\) cm.

Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A B\).

c) Ta có: \(A K = A C = 6\) cm nên \(I K = A K - A I = 6 - 4 = 2\) cm.

a) Do \(O\) là tâm đối xứng của \(\left(\right. O \left.\right)\) nên điểm \(N\) đối xứng với điểm \(M\) qua tâm \(O\) phải vừa thuộc \(O M\), vừa thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\).

Vậy \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(O M\) với \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) Do \(A B\) là trục đối xứng của \(\left(\right. O \left.\right)\) nên điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(A B\) phải vừa thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\), vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(A B\).

Vậy \(P\) là giao điểm của \(\left(\right. O \left.\right)\) với đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(A B\).

Cho tam giác \(A B C\), cạnh \(B C\) cố định, \(A B = 4\) cm. 

a) Điểm \(A\) di động trên đường nào?

b) Trung điểm \(M\) của \(A C\) di động trên đường nào? 

a) Điểm \(B\) cố định. Điểm \(A\) cách \(B\) một khoảng là \(4\) cm nên \(A\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\).

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\) thì \(O\) là một điểm cố định.

Ta có \(O M = \frac{1}{2} A B = 2\) cm.

Điểm \(M\) cách điểm \(O\) một khoảng \(2\) cm nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O ; 2\) cm\(\left.\right)\).