Dưới đây là lời giải ngắn gọn, rõ ràng cho cả hai câu.

**Cho:** (\triangle ABC) có ba góc nhọn. (BD) là đường cao từ (B) tới (AC) (vậy (D\in AC) và (BD\perp AC)). (CE) là đường cao từ (C) tới (AB) (vậy (E\in AB) và (CE\perp AB)). (H) là giao điểm của (BD) và (CE).

---

**a) Chứng minh (BCDE) là tứ giác nội tiếp.**

* Vì (BD\perp AC) và (D\in AC), nên góc (\angle BDC=90^\circ).

* Vì (CE\perp AB) và (E\in AB), nên góc (\angle BEC=90^\circ).

* Do đó (\angle BDC=\angle BEC=90^\circ). Hai góc này cùng chắn cung (BC) nên hai điểm (D) và (E) nằm trên cùng một đường tròn đi qua (B) và (C).

* Vậy (B,C,D,E) đồng quy trên một đường tròn — tức (BCDE) là tứ giác nội tiếp.

---

**b) Chứng minh (ADHE) là tứ giác nội tiếp.**

* Vì (D\in AC) và (H\in BD), nên đoạn (DH) nằm trên đường thẳng (BD). Do (BD\perp AC), góc (\angle ADH) (góc giữa (DA) và (DH)) bằng (90^\circ).

* Vì (E\in AB) và (H\in CE), nên đoạn (EH) nằm trên đường thẳng (CE). Do (CE\perp AB), góc (\angle AEH) (góc giữa (EA) và (EH)) cũng bằng (90^\circ).

* Do (\angle ADH=\angle AEH=90^\circ), hai góc này cùng chắn cung (AH). Vì hai góc cùng phụ thuộc vào cùng một cung nên bốn điểm (A,D,H,E) cùng nằm trên một đường tròn.

* Vậy (ADHE) là tứ giác nội tiếp.

---

Kết luận: cả (BCDE) và (ADHE) đều là tứ giác nội tiếp.

Gọi:

• \(A\): vị trí đèn (cao 2,5 m).
• \(B\): điểm tia sáng dưới chạm đất (cách tường 2 m).
• \(C\): điểm tia sáng trên chạm đất.
  → Cần tìm \(B C\) (độ dài vùng chiếu sáng).

Từ tam giác vuông:

\(tan ⁡ 10^{\circ} = \frac{2 , 5}{A B} \Rightarrow A B = \frac{2 , 5}{tan ⁡ 10^{\circ}}\)

và

\(tan ⁡ 10^{\circ} = \frac{2 , 5}{A C} \Rightarrow A C = \frac{2 , 5}{tan ⁡ 10^{\circ}}\)

nhưng tia sáng trên nghiêng lên thêm \(10^{\circ}\), nên góc giữa tia trên và tường là \(10^{\circ}\) về phía trên → tức là góc giữa tia dưới và tia trên là \(20^{\circ}\).

Cụ thể hơn:

\(tan ⁡ 10^{\circ} = \frac{2 , 5}{x_{1}} \Rightarrow x_{1} = \frac{2 , 5}{tan ⁡ 10^{\circ}} \approx 14 , 19\)

và

\(tan ⁡ 30^{\circ} = \frac{2 , 5}{x_{2}} \Rightarrow x_{2} = \frac{2 , 5}{tan ⁡ 30^{\circ}} \approx 4 , 33\)

(do tia dưới hợp với đất góc 10°, tia trên hợp với đất góc 30° → tổng 20°).

Vì điểm sáng bắt đầu tại 2 m nên:

\(x_{1} = 2 \Rightarrow tan ⁡ 10^{\circ} = \frac{2 , 5}{2} \Rightarrow đ \overset{ˊ}{u} n g t h e o đ \overset{ˋ}{\hat{e}} .\)

Nên tia trên có:

\(tan ⁡ 30^{\circ} = \frac{2 , 5}{x_{2}} \Rightarrow x_{2} = \frac{2 , 5}{tan ⁡ 30^{\circ}} \approx 4 , 33\)

→ Dải chiếu sáng:

\(B C = x_{2} - 2 = 4 , 33 - 2 = 2 , 33 \textrm{ } (\text{m})\)

So sánh các giá trị lượng giác

a) So sánh \(sin ⁡ 35^{\circ}\) và \(cos ⁡ 55^{\circ}\)

Ta biết:

\(cos ⁡ 55^{\circ} = sin ⁡ \left(\right. 90^{\circ} - 55^{\circ} \left.\right) = sin ⁡ 35^{\circ}\)

→ ✅ Hai giá trị bằng nhau:

\(sin ⁡ 35^{\circ} = cos ⁡ 55^{\circ}\)

b) So sánh \(tan ⁡ 28^{\circ}\) và \(cot ⁡ 62^{\circ}\)

Ta có:

\(cot ⁡ 62^{\circ} = tan ⁡ \left(\right. 90^{\circ} - 62^{\circ} \left.\right) = tan ⁡ 28^{\circ}\)

→ ✅ Hai giá trị bằng nhau:

\(tan ⁡ 28^{\circ} = cot ⁡ 62^{\circ}\)

2. Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)

Cạnh huyền \(B C = 20\) cm, góc \(B = 36^{\circ}\).

Ta có:

\(cos ⁡ B = \frac{k \overset{ˋ}{\hat{e}}}{h u y \overset{ˋ}{\hat{e}} n} = \frac{A B}{B C}\)

Suy ra:

\(A B = B C \cdot cos ⁡ B = 20 \cdot cos ⁡ 36^{\circ}\)

Tra hoặc tính:

\(cos ⁡ 36^{\circ} \approx 0,809\)

→ \(A B \approx 20 \times 0,809 = 16,18 \textrm{ } \text{cm}\)

✅ Giải thích: Vì trong tam giác vuông, cạnh kề của góc bằng cạnh huyền nhân với cos của góc đó.

Kết luận:

1. \(sin ⁡ 35^{\circ} = cos ⁡ 55^{\circ}\); \(tan ⁡ 28^{\circ} = cot ⁡ 62^{\circ}\)
2. \(A B = 20 cos ⁡ 36^{\circ} \approx 16,18 \textrm{ } \text{cm}\)

Gọi tốc độ lúc về là \(v\) (km/h). Khi đi thì tốc độ là \(v + 10\) (km/h). Khoảng cách mỗi chiều 60 km. Thời gian về nhiều hơn thời gian đi \(0,5\) giờ.

Viết phương trình:

\(\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 0,5.\)

Nhân cả hai vế với \(2 v \left(\right. v + 10 \left.\right)\):

\(120 \left(\right. v + 10 \left.\right) - 120 v = v \left(\right. v + 10 \left.\right) .\)

Suy ra

\(1200 = v^{2} + 10 v \textrm{ }\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } v^{2} + 10 v - 1200 = 0.\)

Giải phương trình bậc hai:

\(\Delta = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 1200 \left.\right) = 100 + 4800 = 4900 , \&\text{nbsp}; \sqrt{\Delta} = 70.\)\(v = \frac{- 10 \pm 70}{2} .\)

Lấy nghiệm dương: \(v = \frac{- 10 + 70}{2} = 30\) (km/h).

Vậy tốc độ lúc về là 30 km/h.

a) \(x = - 9\)
b) \(x = 7 , \textrm{ }\textrm{ } y = - 3\)

Nhiệt độ \(t\) tại Tokyo trên −5°C
→ \(t > - 5\)

b) Tuổi \(x\) của một người ít nhất là 16 tuổi
→ \(x \geq 16\)

c) Mức lương tối thiểu trong một giờ làm việc là 20 000 đồng
→ \(l \geq 20000\)

d) \(y\) là số dương
→ \(y > 0\)

a) Tính độ dài các đoạn \(C A , C B , D A , D B\)

Vì \(C\) và \(D\) nằm trên cả hai đường tròn, ta có:

\(C A = D A = 6 \textrm{ } \text{cm} , C B = D B = 4 \textrm{ } \text{cm} .\)

✅ Kết luận:

\(C A = D A = 6 \textrm{ } \text{cm} , C B = D B = 4 \textrm{ } \text{cm} .\)

b) Điểm \(I\) có phải là trung điểm của \(A B\) không?

Không, vì hai đường tròn không bằng nhau (bán kính khác nhau: 6 cm và 4 cm).
→ Giao điểm của chúng với đoạn \(A B\) không chia \(A B\) thành hai phần bằng nhau.

Giải thích:
Nếu hai đường tròn có bán kính bằng nhau, thì chúng sẽ đối xứng nhau qua trung trực của \(A B\), khi đó \(I\) là trung điểm.
Nhưng ở đây \(r_{A} \neq r_{B}\) ⇒ \(I\) không phải trung điểm.

✅ Kết luận:
\(I\) không phải là trung điểm của \(A B\).

c) Tính độ dài đoạn \(I K\)

Hai đường tròn cắt đoạn \(A B\) tại \(I\) và \(K\).
Ta có thể tìm \(A I\) và \(B K\) bằng công thức giao tuyến hai đường tròn.

Công thức:

\(A I = \frac{R_{1}^{2} - R_{2}^{2} + A B^{2}}{2 A B}\)

Thay số:

\(A I = \frac{6^{2} - 4^{2} + 8^{2}}{2 \times 8} = \frac{36 - 16 + 64}{16} = \frac{84}{16} = 5 , 25 \textrm{ } \text{cm} .\)

Vì \(K\) là giao điểm thứ hai (nằm phía trong giữa hai tâm), nên:

\(B K = A B - A I = 8 - 5 , 25 = 2 , 75 \textrm{ } \text{cm} .\)

Giao tuyến hai đường tròn tạo ra hai giao điểm \(C , D\) vuông góc với \(A B\), nên:

\(I K = A I - B K = 5 , 25 - 2 , 75 = 2 , 5 \textrm{ } \text{cm} .\)

✅ Kết luận:

\(I K = 2 , 5 \textrm{ } \text{cm} .\)

🔹 Tóm tắt kết quả cuối cùng:

a) Tìm điểm \(N\) đối xứng với \(M\) qua tâm \(O\):

👉 Khi hai điểm đối xứng nhau qua tâm \(O\), thì \(O\) là trung điểm của đoạn \(M N\).

Cách tìm:

1. Dùng thước kẻ nối \(M\) với tâm \(O\).
2. Kéo dài đoạn \(M O\) về phía đối diện.
3. Lấy điểm \(N\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(M N\).

✅ Kết quả:
\(N\) cũng nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vì trong đường tròn, hai điểm đối xứng qua tâm luôn cùng thuộc đường tròn đó.

b) Tìm điểm \(P\) đối xứng với \(M\) qua đường thẳng \(A B\):

👉 Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng thì đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn nối hai điểm đó.

Cách tìm:

1. Dựng đường vuông góc với \(A B\) tại hình chiếu \(H\) của \(M\) lên \(A B\).
2. Lấy điểm \(P\) sao cho \(H\) là trung điểm của đoạn \(M P\).

Vì \(B\) cố định và \(A B = 4 \textrm{ } \text{cm}\) không đổi, nên:

➡️ Tập hợp các điểm A cách B một khoảng cố định (4 cm) là một đường tròn tâm B, bán kính 4 cm.

✅ Kết luận:
Điểm \(A\) di động trên đường tròn tâm B, bán kính 4 cm.

b) Trung điểm M của AC di động trên đường nào?

Giải thích:

• Khi \(A\) di chuyển trên đường tròn tâm \(B\) bán kính 4 cm,
• Còn \(C\) cố định,
  → Thì trung điểm \(M\) của đoạn \(A C\) sẽ di động trên một đường tròn có:
• • Tâm là trung điểm của BC,
  • Bán kính bằng một nửa khoảng cách giữa B và vị trí di động của A, tức là bán kính = ½ × 4 = 2 cm.

Tuy nhiên, cần xét kỹ vị trí của \(C\):

• Nếu C cố định, trung điểm \(M\) của \(A C\) không quay quanh B, mà di chuyển trên một đường tròn có tâm nằm giữa B và C khi A quay quanh B.
  Cụ thể hơn, ta có thể nói:
  ➡️ Khi A di chuyển trên đường tròn tâm B, bán kính 4 cm, thì trung điểm M của AC di động trên một đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn mà A di chuyển, tức bán kính 2 cm, tâm nằm trên đoạn nối trung điểm giữa B và C.

A)✅ Trả lời:
Có, đường thẳng \(O M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\).

Giải thích:
Trong một đường tròn, đường thẳng nối tâm với trung điểm của một dây (không qua tâm) luôn vuông góc với dây đó.
⟹ \(O M \bot A B\) và đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).
Vì vậy, \(O M\) chính là đường trung trực của \(A B\).

b) Tính khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(A B\):

Gọi \(O H\) là khoảng cách từ tâm đến dây.
Khi đó, trong tam giác vuông \(O H A\):

\(O A^{2} = O H^{2} + A M^{2}\)

Biết:

\(O A = R = 5 \textrm{ } \text{cm} , A B = 8 \textrm{ } \text{cm} \Rightarrow A M = \frac{A B}{2} = 4 \textrm{ } \text{cm}\)

Thay vào công thức:

\(5^{2} = O H^{2} + 4^{2}\)\(25 = O H^{2} + 16\)\(O H^{2} = 9 \Rightarrow O H = 3 \textrm{ } \text{cm}\)