Hiệu quả cao nhất H_{\max} = 24 đạt được khi:

\boxed{x = 0,\ y = 4}

Gọi:

• x: số kg sản phẩm loại I
• y: số kg sản phẩm loại II

Điều kiện:

x \ge 0, \quad y \ge 0

• Giới hạn nguyên liệu:
  2x + 4y \le 200
• Giới hạn thời gian:
  30x + 15y \le 120

Mức lãi (nghìn đồng):

L = 40

Ta có:

x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).

Mà x^2 - xy + y^2 > 0 với mọi x, y (trừ khi x = y = 0, nhưng khi đó vẫn ≥ 0).

⇒ Dấu của x^3 + y^3 giống dấu của x + y.

Vì vậy:

(x - y)(x^3 + y^3) \ge 0 \iff (x - y)(x + y) \ge 0.

Tích (x - y)(x + y) \ge 0 đúng khi hai nhân tử cùng dấu hoặc bằng 0, tức là:

\begin{cases} x - y \ge 0, \, x + y \ge 0 \quad \text{hoặc}\\ x - y \le 0, \, x + y \le 0. \end{cases}

• Trường hợp 1:
  x \ge y \text{ và } x \ge -y.
  ⇨ Đây là miền phía bên phải của hai đường thẳng y = x và y = -x.
• Trường hợp 2:
  x \le y \text{ và } x \le -y.
  ⇨ Đây là miền phía bên trái của hai đường thẳng y = x và y = -x.
• Miền nghiệm là hai góc phần tư chéo nhau (góc thứ I và III), cùng với các đường biên y = x và y = -x:
• ( x - y ) ( x + y ) lớn hơn hoặc bằng 0 <=> ( x lớn hơn hoặc bằng | y | ) hoặc ( bé hoặc băng -|y|

a, y\ge 2-x,\qquad y\ge \dfrac{x+3}{3}.

Vậy nghiệm là các điểm nằm cùng phía trên cả hai đường thẳng y=2-x và y=\dfrac{x+3}{3}.

Hai đường cắt nhau tại

2-x=\frac{x+3}{3}\Rightarrow x=\tfrac34,\ y=\tfrac54.

Do đó miền nghiệm có thể mô tả bằng dạng mảnh:

\{(x,y)\mid y\ge 2-x\ \text{với }x\le\tfrac34,\ \text{và }y\ge\tfrac{x+3}{3}\ \text{với }x\ge\tfrac34\},

hoặc ngắn gọn: giao của hai nửa phẳng y\ge2-x và y\ge\dfrac{x+3}{3} (vùng phía trên của cả hai đường).

b

\begin{cases} x+y>0,\\[4pt] 2x-3y+6>0,\\[4pt] x-2y+1\ge0. \end{cases}

Sắp thành dạng y-theo-x:

y>-x,\qquad y<\dfrac{2x+6}{3},\qquad y\le\dfrac{x+1}{2}.

Vì \dfrac{2x+6}{3}-\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{x+9}{6}>0 cho mọi x>-9, nên trên miền quan tâm (thực tế x>-1/3 dưới đây) ta có \dfrac{2x+6}{3} luôn lớn hơn \dfrac{x+1}{2}. Do đó điều kiện trên hai bất phương trình trên tương đương với

y>-x\quad\text{và}\quad y\le\dfrac{x+1}{2}.

Để tồn tại y thỏa mãn phải có -x<\dfrac{x+1}{2}, tức

-2x<x+1\iff -3x<1\iff x>-\tfrac13.

(Ở x=-\tfrac13 không có vì -x =\dfrac{x+1}{2} và bất phương trình đầu là nghiêm ngặt.)

Vậy miền nghiệm của hệ (b) là

\boxed{\{(x,y)\mid x>-\tfrac13,\ -x<y\le \tfrac{x+1}{2}\}.}

2x-y\ge 0.

2x-y\ge0 \iff -y\ge-2x \iff y\le 2x.

Vậy miền nghiệm là nửa phẳng bao gồm đường thẳng y=2x:

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\le2x\}.

\dfrac{x-2y}{2}>\dfrac{2x+y+1}{3}. Nhân 6 hai vế:

3(x-2y)>2(2x+y+1)

3x-6y>4x+2y+2

-6y-2y>4x-3x+2 \iff -8y>x+2.

Nhân -1 đổi chiều dấu:

8y< -x-2 \iff y<-\frac{x+2}{8}.

Vậy miền nghiệm là nửa phẳng mở dưới đường thẳng y=-(x+2)/8:

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y<-\tfrac{x+2}{8}\}.