Xét tam giác ABI, có GM // AB

nên theo định lý ThaLès ta có:

BM/ BI = AG/ AI = 2/3

=> BM = 2/3 BI

lại có: BI = 1/2 BC ( l là trung điểm BC)

=> BM = 2/3 × 1/2 BC = 1/3 BC (đpcm)

Kẻ đthẳng MN đi qua O và song song với AB và CD , M thuộc AD , N thuộc BC .

Xét tam giác DCA , ta có: MO // CD (MN//CD) nên theo định lý ThaLès ta có:

OA/ OC = AM / MD (1)

Xét tam giác ABC có MO // AB (MN // AB) nên theo định lý ThaLès ta có:

OB / OD = AM / MD (2)

Từ (1) và (2) , suy ra :

OA / OC = OB / OD

=> OA . OD = OB . OC ( đpcm)

Xét tam giác ABC có FD// AB (gt)

nên theo định lý ThaLès ta có:

AF/AC = BD/BC (1)

Xét tam giác ABC có DE// AC

nên theo định lý ThaLès ta có:

AE / AB = CD / BC (2)

Từ (1) và (2) ta đc: AF / AC + AE/AB

=BD/BC + CD/BC = BC/BC =1