a: Thay m=2 vào (*), ta được:

\(x^{2} + 4 \left(\right. 2 - 1 \left.\right) x - 12 = 0\)

=>\(x^{2} + 4 x - 12 = 0\)

=>(x+6)(x-2)=0

=>\(\left[\right. x + 6 = 0 \\ x - 2 = 0\)

=>\(\left[\right. x = - 6 \\ x = 2\)

b: \(a = 1 ; b = 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) ; c = - 12\)

Vì a*c=-12<0

nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(x_{2}\) là nghiệm của (*) nên ta có:

\(x_{2}^{2} + 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) x_{2} - 12 = 0\)

=>\(x_{2}^{2} + 4 m x_{2} - 4 x_{2} - 12 = 0\)

=>\(x_{2}^{2} + 4 \left(\right. m x_{2} - 4 \left.\right) - 4 x_{2} + 4 = 0\)

=>\(4 \left(\right. 4 - m x_{2} \left.\right) = x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 4 = \left(\left(\right. x_{2} - 2 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(2 \sqrt{4 - m x_{2}} = \mid x_{2} - 2 \mid\)

\(4 \cdot \mid x_{1} - 2 \mid \cdot \sqrt{4 - m x_{2}} = \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(2 \mid x_{1} - 2 \mid \cdot \mid x_{2} - 2 \mid = \left(\left(\right. - 4 m + 4 + 12 - 8 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(2 \mid x_{1} x_{2} - 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 4 \mid = \left(\left(\right. - 4 m + 8 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(2 \mid - 12 - 2 \left(\right. - 4 m + 4 \left.\right) + 4 \mid = \left(\left(\right. - 4 m + 8 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(2 \mid - 12 + 8 m - 8 + 4 \mid = \left(\left(\right. 4 m - 8 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(2 \mid 8 m - 16 \mid = \left(\left(\right. 4 m - 8 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(16 \mid m - 2 \mid = 16 \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2}\)

=>\(\left(\left(\right. \mid m - 2 \mid \left.\right)\right)^{2} - \mid m - 2 \mid = 0\)

=>|m-2|(|m-2|-1)=0

=>\(\left[\right. m - 2 = 0 \\ m - 2 = 1 \\ m - 2 = - 1 \Leftrightarrow \left[\right. m = 2 \\ m = 3 \\ m = 1\)

a: \(\Delta = \left(\left[\right. - 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 4 m + 4 \left.\right) - 4 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 4 m + 4 - m^{2} - 7 \left.\right) = 4 \left(\right. 4 m - 3 \left.\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4(4m-3)>0

=>4m-3>0

=>4m>3

=>\(m > \frac{3}{4}\)

\(\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 12\)

=>\(\left(\left(\right. 2 m + 4 \left.\right)\right)^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) = 12\)

=>\(4 m^{2} + 16 m + 16 - 3 m^{2} - 21 - 12 = 0\)

=>\(m^{2} + 16 m - 17 = 0\)

=>(m+17)(m-1)=0

=>\(\left[\right. m = - 17 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ m = 1 \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

a: Thay m=1 vào (1), ta được:

\(x^{2} - 6 x + 1 + 4 = 0\)

=>\(x^{2} - 6 x + 5 = 0\)

=>(x-1)(x-5)=0

=>\(\left[\right. x - 1 = 0 \\ x - 5 = 0\)

=>\(\left[\right. x = 1 \\ x = 5\)

b:

\(\Delta = \left(\left(\right. - 6 \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 4 \left.\right)\)

=36-4m-16

=-4m+20

Để phương trình (1) có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-4m+20>=0

=>-4m>=-20

=>m<=5

Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(2020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2021 \cdot x_{1} x_{2} = 2014\)

=>\(2020 \cdot 6 - 2021 \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2014\)

=>2021(m+4)=10106

=>\(m + 4 = \frac{10106}{2021}\)

=>\(m = \frac{10106}{2021} - 4 = \frac{2022}{2021} \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

a: Thay m=1 vào (1), ta được:

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} + 2 = 0\)

=>\(x^{2} - 4 x + 3 = 0\)

=>(x-1)(x-3)=0

=>\(\left[\right. x - 1 = 0 \\ x - 3 = 0\)

=>\(\left[\right. x = 1 \\ x = 3\)

b:

\(\Delta = \left(\left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 4 \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 \left.\right) = 4 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right)\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4(2m-1)>0

=>2m-1>0

=>2m>1

=>\(m > \frac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

=>\(x_{1}^{2} + x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 12 m + 2\)

=>\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

=>\(\left(\left(\right. 2 m + 2 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

=>\(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 - 12 m - 2 = 0\)

=>\(3 m^{2} - 4 m = 0\)

=>m(3m-4)=0

=>\(\left[\right. m = 0 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ m = \frac{4}{3} \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

a: Thay m=1 vào phương trình, ta được:

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} = 0\)

=>\(x^{2} - 4 x + 1 = 0\)

=>\(x^{2} - 4 x + 4 - 3 = 0\)

=>\(\left(\left(\right. x - 2 \left.\right)\right)^{2} = 3\)

=>\(x - 2 = \pm \sqrt{3}\)

=>\(x = 2 \pm \sqrt{3}\)

b: \(\Delta = \left(\left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4 m^{2}\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 4 m^{2} = 4 \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>4(2m+1)>=0

=>2m+1>=0

=>2m>=-1

=>\(m > = - \frac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} + 6 = 0\)

=>\(\left(\left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 6 m^{2} + 6 = 0\)

=>\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 6 \left(\right. m^{2} - 1 \left.\right) = 0\)

=>\(2 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m + 1 \left.\right) = 0\)

=>(m+1)(2m+2-3m+3)=0

=>(m+1)(5-m)=0

=>\(\left[\right. m = - 1 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ m = 5 \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

a) Giải phương trình (1) với \(m = - 3\).

Khi \(m = - 3\) phương trình (1) trở thành: \(x^{2} + x - 2 = 0\).

Vì \(1 + 1 + \left(\right. - 2 \left.\right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = - 2\)

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

Ta có: \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} + 4 m + 4 - 4 m - 4 = m^{2} \geq 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

c) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Theo câu b ta có: \(\Delta = m^{2}\)

Phương trình (1) có có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khi

\(\)

\(\)

\(\)

Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\) nên áp dụng hệ thức \(\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}\) ta có:

\(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{\left(\right. \frac{2}{\sqrt{5}} \left.\right)^{2}}\)

\(\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{5}{4}\)

\(4 \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. = 5 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 4 \left[\right. \left(\left(\right. m + 2 \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right. = 5 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

\(m = 1 ; m = - 3\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

a: Thay m=2 vào (1), ta được:

\(x^{2} - 3 x + 2 = 0\)

=>(x-1)(x-2)=0

=>\(\left[\right. x - 1 = 0 \\ x - 2 = 0\)

=>\(\left[\right. x = 1 \\ x = 2\)

b: \(\Delta = \left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} - 4 m = 9 - 4 m\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì Δ>=0

=>-4m+9>=0

=>-4m>=-9

=>\(m < = \frac{9}{4}\)

c: Theo Vi-et, ta có:

\(\)

\(x_{1}^{3} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{2}^{3} - 2 \cdot x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = 5\)

=>\(x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left.\right) = 5\)

=>\(m \cdot \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} \left]\right. = 5\)

=>\(m \cdot \left[\right. 3^{2} - 4 m \left]\right. = 5\)

=>\(m \left(\right. - 4 m + 9 \left.\right) - 5 = 0\)

=>\(- 4 m^{2} + 9 m - 5 = 0\)

=>(m-1)(4m-5)=0

=>\(\left[\right. m = 1 \left(\right. n h ậ n \left.\right) \\ m = \frac{5}{4} \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

Δ=(−2m)2−4⋅1⋅(2m−2)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 8 = 4 \left(\right. m^{2} - 2 m + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} - 2 m + 1 + 1 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\)

Theo đề, ta có hệ phương trình:  \(\)

\(\)\(\)

\(x_{1} \cdot x_{2} = 2 m - 2\)

=>\(\left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \left(\right. - m + 3 \left.\right) = 2 m - 2\)

=>\(3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. - m + 3 \left.\right) - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

=>(m-1)(-3m+9-2)=0

=>(m-1)(-3m+7)=0

=>\(\left[\right. m - 1 = 0 \\ - 3 m + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. m = 1 \\ m = \frac{7}{3}\)

a=1; b=-2m; c=-1

Vì \(a \cdot c = 1 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = - 1 < 0\)

nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:  \(\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 7\)

=>\(\left(\left(\right. 2 m \left.\right)\right)^{2} - 3 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = 7\)

=>\(4 m^{2} = 4\)

=>\(m^{2} = 1\)

=>\(\left[\right. m = 1 \\ m = - 1\)

Δ=(m+2)2−4⋅1⋅2m

\(= m^{2} + 4 m + 4 - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} > = 0 \forall m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>\(\left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} > 0\)

=>\(m - 2 \neq 0\)

=>\(m \neq 2\)

Theo Vi-et, ta có:

\($$ \left{\right. x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - m - 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 2 m $$\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = 2 \left(\right. - m - 2 \left.\right) + 2 m = - 2 m - 4 + 2 m = - 4\)

=>Đây là biểu thức không phụ thuộc vào m