a) Xét \(a . c = - m^{2} + m - 2 = - \left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{3}{4} < 0 ,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi \(m\).

b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \(x_{1} , x_{2}\).

Theo câu a) thì \(x_{1} x_{2} \neq 0\), do đó \(A\) được xác định với mọi \(x_{1} , x_{2}\).

Do \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu nên \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - t\) với \(t > 0\), suy ra \(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)^{3} < 0\), suy ra \(A < 0\)

Đặt \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - t\), với \(t > 0\), suy ra \(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{t}\).

Khi đó \(A = - t - \frac{1}{t}\) mang giá trị âm và \(A\) đạt giá trị lớn nhất khi \(- A\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(- A = t + \frac{1}{t} \geq 2\), suy ra \(A \leq - 2\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{t}\)

\(t^{2} = 1\)

\(t = \pm 1\)

Vì \(t > 0\) nên \(t = 1\)

Với \(t = 1\), ta có \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - 1\)

\(\frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1\)

\(x_{1} = - x_{2}\)

\(x_{1} + x_{2} = 0\)

\(- \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\).

Vậy với \(m = 1\) thì biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(- 2\).

a) Khi \(m = 3\), phương trình đã cho trở thành: \(x^{2} - 6 x + 5 = 0\).

Vì \(a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = 5\).

b) Vì \(a + b + c = 1 - 2 m + 2 m - 1 = 0\) nên phương trình có nghiệm \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = 2 m - 1\) với mọi giá trị của \(m\).

Ta có: \(A = \frac{4 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. 2 + x_{1} x_{2} \left.\right)} = \frac{4 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}{\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 4} = \frac{4 \left(\right. 2 m - 1 + 1 \left.\right)}{\left(\right. 2 m - 1 + 1 \left.\right)^{2} + 4} = \frac{8 m}{4 m^{2} + 4} = \frac{2 m}{m^{2} + 1}\)

Lại có: \(\left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} \geq 0 ,\) với mọi \(m\)

\(2 m \geq - \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right)\) với mọi \(m\)

\(\frac{2 m}{\left(\right. m^{2} + 1 \left.\right)} \geq - 1\)  với mọi \(m\)

Suy ra \(A \geq - 1\) với mọi \(m\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = - 1\).

Suy ra \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(- 1\) khi \(m = - 1\).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).

Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) ta được: \(x^{2} + 2 x - 8 = 0\)

Ta có: \(\Delta^{'} = 1 + 8 = 9 = 3^{2} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1} = - 1 + \sqrt{9} = 2 ; x_{2} = - 1 - \sqrt{9} = - 4\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x_{1} = 2 ; x_{2} = - 4\).

b) Phương trình (1) có: \(\Delta = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} + 32 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\).

Khi đó theo Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = - m + 2 ; x_{1} x_{2} = - 8\)

Ta có: \(Q = \left(\right. x_{1}^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} - 1 \left.\right)\)

\(= x_{1}^{2} x_{2}^{2} - \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) + 1\)

\(= x_{1}^{2} x_{2}^{2} - \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 1\)

\(= 64 - \left(\left(\right. - m + 2 \left.\right)\right)^{2} - 16 + 1 = - \left(\left(\right. - m + 2 \left.\right)\right)^{2} + 49 \leq 49\) với mọi \(m\).

Vậy GTLN của \(Q\) bằng \(49\).

Dấu "=" xảy ra khi \(m = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q\) bằng \(49\) đạt được khi \(m = 2\).

Xét phương trình:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) x - 6 m - 7 = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Viète, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) , x_{1} x_{2} = - 6 m - 7\)

Xét biểu thức:

\(C = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 8 x_{1} x_{2}\)

Thay các giá trị theo Viète:

\(C = \left[\right. 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) \left]\right.^{2} + 8 \left(\right. - 6 m - 7 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m - 3 \left.\right)^{2} - 48 m - 56\) \(= 4 \left(\right. m^{2} - 6 m + 9 \left.\right) - 48 m - 56\) \(= 4 m^{2} - 24 m + 36 - 48 m - 56 = 4 m^{2} - 72 m - 20\)

Xét:

\(C = 4 m^{2} - 72 m - 20 = 4 \left(\right. m^{2} - 18 m \left.\right) - 20\) \(= 4 \left[\right. \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 81 \left]\right. - 20 = 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 324 - 20 = 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 344\)

Do đó, \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất khi:

\(m = 9\)

Khi đó:

Cmin⁡ = −344

Kết luận:

Cmin = -344 khi m=9

Xét phương trình:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 1 = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Viète, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\)

Xét biểu thức:

\(A = x_{1} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) + x_{2}^{2}\)

Ta biến đổi:

\(A = x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - x_{1} x_{2}\)

Mà:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Suy ra:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2}\)

Thay các giá trị theo Viète:

\(A = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 3 m^{2} - 3\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 3 m^{2} - 3 = m^{2} + 8 m + 1\)

Xét biểu thức:

\(A = m^{2} + 8 m + 1 = \left(\right. m + 4 \left.\right)^{2} - 15\)

Do đó, \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi:

\(m = - 4\)

Giá trị của \(m\) để biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là m = -4