a) Phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) x + m^{2} + 7 = 0\) có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - m^{2} - 7 = 4 m - 3\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(4 m - 3 > 0\)

\(m > \frac{3}{4}\).

Vậy với \(m > \frac{3}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Với \(m > \frac{3}{4}\), theo định li Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m + 4\);

\(x_{1} x_{2} = m^{2} + 7\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} - 12 = 0\)

\(\left(\left(\right. 2 m + 4 \left.\right)\right)^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) - 12 = 0\)

\(4 m^{2} + 16 m + 16 - 3 m^{2} - 21 - 12 = 0\)

\(m^{2} + 16 m - 17 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 1 + 16 - 17 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m = 1\) (tm); \(m = \frac{c}{a} = - 17\) (ktm).

Vậy \(m = 1\).

Xét phương trình \(x^{2} - 6 x + m + 4 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).

a) Khi \(m = 1\), ta có \(x^{2} - 6 x + 1 + 4 = 0\)

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0\)

Vì \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 6 \left.\right) + 5 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = \frac{c}{a} = 5\).

Vậy \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm là \(x_{1} = 1 ; x_{2} = 5\).

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 \left(\right. m + 4 \left.\right) > 0\)

\(9 - m - 4 > 0\)

\(- m > - 5\)

\(m < 5\).

Khi đó theo hệ thức Viète, ta có \(x_{1} + x_{2} = 6 ; x_{1} x_{2} = m + 4\).

Theo bài ra: \(2 020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 021 x_{1} x_{2} = 2 014\)

\(2 020.6 - 2 021. \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2 014\)

\(12 120 - 2 021 m - 8 084 = 2 014\)

\(- 2 021 m = - 2 022\)

\(m = \frac{2 022}{2 021}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{2 022}{2 021}\) là giá trị cần tìm.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) ta có:

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} + 2 = 0\)

\(x^{2} - 4 x + 3 = 0\)

Phương trình có: \(a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = \frac{c}{a} = 3.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left{\right. 1 ; 3 \left.\right}\).

b) Xét phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 2 = 0\) (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) > 0\)

\(m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 > 0\)

\(2 m - 1 > 0\)

\(m > \frac{1}{2}\)

Với \(m > \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2} + 2\).

Theo đề bài ta có: \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

\(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 = 12 m + 2\)

\(3 m^{2} - 4 m = 0\)

\(m \left(\right. 3 m - 4 \left.\right) = 0\)

\(m = 0\) (ktm); \(m = \frac{4}{3}\) (tm).

Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là thỏa mãn bài toán.

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành \(x^{2} - 4 x + 1 = 0\).

Ta có \(\Delta^{'} = 2^{2} - 1 = 3 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{\Delta^{'}}}{a} = 2 + \sqrt{3}\);

\(x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{\Delta^{'}}}{a} = 2 - \sqrt{3}\).

Vậy khi \(m = 1\) thì nghiệm của phương trình là \(x_{1} = 2 + \sqrt{3} ;\) \(x_{2} = 2 - \sqrt{3}\).

b) Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - m^{2} = 2 m + 1\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(2 m + 1 \geq 0\)

\(m \geq - \frac{1}{2}\).

Khi đó áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2}\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} + 6 = 0\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 6 m^{2} + 6 = 0\)

\(- 2 m^{2} + 8 m + 10 = 0\) (1)

Ta có \(a - b + c = - 2 - 8 + 10 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m_{1} = - 1\) (ktm); \(m_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{10}{- 2} = 5\) (tm).

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(m = 5\)

a) Giải phương trình (1) với \(m = - 3\).

Khi \(m = - 3\) phương trình (1) trở thành: \(x^{2} + x - 2 = 0\).

Vì \(1 + 1 + \left(\right. - 2 \left.\right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = - 2\)

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

Ta có: \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} + 4 m + 4 - 4 m - 4 = m^{2} \geq 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

c) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Theo câu b ta có: \(\Delta = m^{2}\)

Phương trình (1) có có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khi

\(\begin{cases}\Delta>0\\ x1+x2>0\\ x1.x2>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}m2>0\\ m+2>0\\ m+1>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}m=0\\ m>-1\end{cases}\)

Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\) nên áp dụng hệ thức \(\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}\) ta có:

\(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{\left(\right. \frac{2}{\sqrt{5}} \left.\right)^{2}}\)

\(\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{5}{4}\)

\(4 \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. = 5 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2}\)

\(4\left[\right.\left(\left(\right.m+2\left.\right)\right)^2-2\left(\right.m+1\left.\right)\left]\right.=5\left(\right.m+1\left.\right)^2\)

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

\(m = 1 ; m = - 3\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 2\).

+ Khi \(m = 2\), phương trình đã cho trở thành: \(x^{2} - 3 x + 2 = 0\).

+ Ta có: \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 3 \left.\right) + 2 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 2\).

Vậy khi \(m = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 2\).   

b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có nghiệm.

+ Ta có: \(\Delta = \left(\right. - 3 \left.\right)^{2} - 4.1. m = 9 - 4 m\).

+ Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: \(\Delta \geq 0\)

\(9 - 4 m \geq 0\)

\(4 m \leq 9\)

\(m \leq \frac{9}{4}\)

Vậy khi \(m \leq \frac{9}{4}\) thì phương trình (1) có nghiệm.    

c) Theo câu b) phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) có nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) khi \(m \leq \frac{9}{4}\) (*).

Khi đó theo định lí Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 3 ;\)

\(x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = m\).  

Ta có: \(x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} - 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 5\)

\(x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 2 \left(\left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\right)^{2} = 5\)

\(x_{1} x_{2} \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. - 2 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} = 5\)

\(m \left(\right. 3^{2} - 2 m \left.\right) - 2 m^{2} = 5\)

\(9 m - 2 m^{2} - 2 m^{2} = 5\)

\(4 m^{2} - 9 m + 5 = 0\)

\(4 m^{2} - 4 m - 5 m + 5 = 0\)

\(4 m \left(\right. m - 1 \left.\right) - 5 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m - 5 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\) hoặc \(m = \frac{5}{4}\).

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được các giá trị cần tìm của \(m\) là \(m = 1\) và \(m = \frac{5}{4}\).

x2−2mx+2m−2=0, với \(m\) là tham số.

\(\Delta^{'} = \left(\right. - m \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) = m^{2} - 2 m + 2 = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 1 \geq 0\) với mọi \(m\).

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} x_{2} = 2 m - 2\).

Theo giả thiết, ta có: \(x_{1} + 3 x_{2} = 6\)

Giải hệ phương trình \(\begin{cases}x1+x2=2m\\ x1+3x2=6\end{cases}\)

\(\begin{cases}x2=3-m\\ x1=3m-3\end{cases}\)

Thay \(\begin{cases}x2=3-m\\ x1=3m-3\end{cases}\) vào \(x_{1} x_{2} = 2 m - 2\), ta được:

\(\left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \left(\right. 3 - m \left.\right) = 2 m - 2\)

\(3 m^{2} - 10 m + 7 = 0\)

Phương trình có dạng \(a + b + c = 3 - 10 + 7 = 0\).

Suy ra \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{7}{3}\) .

Vây giá trị cần tìm là \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{7}{3}\) .

Phương trình (1) có \(\Delta^{'} = m^{2} + 1 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Khi đó áp dụng định li Viète ta có

\(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} x_{2} = - 1\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2} = 7\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 7\)

\(4 m^{2} + 3 = 7\)

\(4 m^{2} = 4\)

\(m = \pm 1\)

Vậy \(m = \pm 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Ta có: \(\Delta^{'} = m^{2} - \left(\right. m - 2 \left.\right) = m^{2} - m + 2 = \left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} . x_{2} = m - 2\)

Do \(x_{2}\) là nghiệm của (1) nên \(x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m - 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} = 2 m x_{2} - m + 2\)

Do đó \(2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2\)

\(= 2 m \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 6 x_{1} x_{2} - 2 m + 4\)

\(= 2 m . 2 m - 6 \left(\right. m - 2 \left.\right) - 2 m + 4\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 16 = 4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} + 12 \geq 12\).

Suy ra \(M \geq \frac{- 24}{12} = - 2\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = 1\).

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta^{'} = 1 - \left(\right. 2 - m \left.\right) = m - 1 \geq 0\)

\(m \geq 1\)

b) Với \(m \geq 1\) ta có \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} . x_{2} = 2 - m\) (định lí Viète).

Khi đó \(A = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 4\)

\(= x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} - 4\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m \left.\right)\right)^{2} + 3.2^{2} - 6 \left(\right. 2 - m \left.\right) - 4\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m \left.\right)\right)^{2} - 6 \left(\right. 2 - m \left.\right) + 9 - 1\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 = \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 1\)

Do \(m \geq 1\) nên \(\left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} \geq 2^{2} = 4\) hay \(A \geq 4 - 1 = 3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) bằng \(3\) đạt được khi \(m = 1\).