a) Chiều cao hộp dựng bóng hình trụ là \(h = 6 , 4.3 = 19 , 2\) (cm)
Bán kính đáy hộp đựng bóng hình trụ là \(R_{1} = 6 , 4 : 2 = 3 , 2\) (cm).
Thể tích đựng bóng hình trụ là:
\(V_{1} = \pi r R_{1}^{2} h = \pi . 3 , 2^{2} . 19 , 2 = 618\) (cm³)
b) Bán kính quả bóng tennis là \(R_{2} = 6 , 4 : 2 = 3 , 2\) (cm²)
Thể tích của ba quả bóng tennis có dạng hình cầu là:
\(V_{2} = 3 \left(\right. \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3} \left.\right) = 3. \left(\right. \frac{4}{3} . \pi . 3 , 2^{3} \left.\right) \approx 412\) (cm³)
Thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis là:
\(V = V_{1} - V_{2} = 618 - 412 = 203\) (cm³)

Hình trụ thứ nhất có bán kính \(R_{1} = \frac{8}{2} = 4\) mm và chiều cao là \(2\) mm.  
Ta có thể tính thể tích \(V_{1} = \pi R_{1}^{2} h = \pi . 4^{2} = 32 \pi\) (mm³).
Hình trụ thứ hai có bán kính \(R_{2} = \frac{4}{2} = 2\) mm và chiều cao là \(25\) mm.  
Ta có thể tính thể tích \(V_{2} = \pi R_{2}^{2} h = \pi . 2^{2} . 25 = 100 \pi\) (mm³).
Hình nón có đường kính đáy là \(4\) mm nên bán kính mặt đáy \(R_{3} = \frac{4}{2} = 2\) mm và chiều cao \(5\) mm.
Ta có thể tính thể tích \(V_{3} = \frac{1}{3} \pi R_{3}^{2} h = \frac{1}{3} \pi . 2^{2} . 5 = \frac{20}{3} \pi\) (mm³).
Do đó thể tích của chiếc đinh là:
\(V_{1} + V_{2} + V_{3} = 32 \pi + 100 \pi + \frac{20}{3} \pi = \frac{416}{3} \pi\) (mm³)
Khi thả 10 chiếc đinh vào cốc nước thì thể tích nước tăng thêm:
\(10. \frac{416}{3} \pi = \frac{4 160}{3 \pi} \approx 4 356 , 34\) (mm³) \(\approx 4 , 4\) (ml)

Đổi \(40\) mm \(= 4\) cm

a) Bán kính của quả bóng bàn là: \(4 : 2 = 2\) (cm)

Thể tích của quả bóng bàn là:

\(V_{1} = \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} . 3 , 14. 2^{3} = 33 , 49\) (cm³)

b) Thể tích nước dâng là:

\(V_{2} = \pi R^{2} . h = 3 , 14. 3^{2} . 7 , 2 = 203 , 472\) (cm³)

Thể tích phần bóng chìm: \(V_{3} = 203 , 472 - 200 = 3 , 472\) (cm³)

Vậy thể tích phần nổi quả bóng là

\(V = V_{1} - V_{3} = 33 , 49 - 3 , 472 \approx 30 , 02\) (cm³)

Cho phương trình \(x^{2} - \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị \(m \in \mathbb{Z}\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) sao cho biểu thức \(P = \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}}\) có giá trị là số nguyên. 

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\Delta = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 m - 3\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\)

\(m > \frac{3}{4}\).

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m + 1\) và \(x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\).

Do đó \(P = \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}}\)

\(= \frac{m^{2} + 1}{2 m + 1} = \frac{2 m - 1}{4}\)

\(= \frac{5}{4 \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)}\).

Suy ra \(4 P = 2 m - 1 + \frac{5}{2 m + 1}\).

Do \(m > \frac{3}{4}\) nên \(2 m + 1 > 1\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì ta phải có \(\left(\right. 2 m + 1 \left.\right)\) là ước của \(5\), suy ra

\(2 m + 1 = 5\)

\(m = 2\)

Thử lại với \(m = 2\), ta được \(P = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.

a) Với \(m = 2\) thì phương trình (*) trở thành:

\(x^{2} + 4 x - 12 = 0\)

\(x^{2} + 6 x - 2 x - 12 = 0\)

\(x \left(\right. x + 6 \left.\right) - 2 \left(\right. x + 6 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x + 6 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0\)

\(x = - 6 ; x = 2\)

Vậy với \(m = 2\) thì phương trình (*) có tập nghiệm là \(S = \left{\right. - 6 ; 2 \left.\right}\).

b) Phương trình \(\left(\right. * \left.\right)\) có \(a . c = 1. \left(\right. - 12 \left.\right) = - 12 < 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Theo định lí Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 4 m + 4 \\ & x_{1} . x_{2} = - 12\) (1) 

Vì \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có: \(x_{2}^{2} + 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) x_{2} - 12 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 4 m x_{2} - 4 x_{2} - 12 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 4 \left(\right. m x_{2} - 4 \left.\right) - 4 x_{2} + 4 = 0\)

\(4 \left(\right. 4 - m x_{2} \left.\right) = x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 4\)

\(4 \left(\right. 4 - m x_{2} \left.\right) = \left(\right. x_{2} - 2 \left.\right)^{2}\) 

\(2. \sqrt{4 - m x_{2}} = \sqrt{\left(\right. x_{2} - 2 \left.\right)^{2}}\)

\(2. \sqrt{4 - m x_{2}} = \mid x_{2} - 2 \mid\) (2) 

Mà theo bài có: \(4 \mid x_{1} - 2 \mid . \sqrt{4 - m x_{2}} = \left(\right. x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8 \left.\right)^{2}\) (3) 

Thay (1), (2) vào (3) ta được: \(2. \mid x_{1} - 2 \mid . \mid x_{2} - 2 \mid = \left(\left[\right. - 4 m + 4 + 12 - 8 \left]\right.\right)^{2}\)

\(2. \mid x_{1} x_{2} - 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 4 \mid = \left(\right. 8 - 4 m \left.\right)^{2}\)

\(2. \mid - 12 - 2 \left(\right. - 4 m + 4 \left.\right) + 4 \mid = 64 - 64 m + 16 m^{2}\)

\(2. \mid - 16 + 8 m \mid = 16 \left(\right. m^{2} - 4 m + 4 \left.\right)\)

\(16. \mid m - 2 \mid = 16 \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

\(\mid m - 2 \mid = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{4}\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{4} - \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} . \left[\right. \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 0\) hoặc \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} - 1 = 0\)

Giải \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 0\) ta được \(m = 2\)

Giải \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} - 1 = 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 1\)

\(m - 2 = 1\) hoặc \(m - 2 = - 1\)

\(m = 3\) hoặc \(m = 1\)

Vậy \(m\in1,2,3\) là các giá trị cần tìm.

a) Phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) x + m^{2} + 7 = 0\) có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - m^{2} - 7 = 4 m - 3\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(4 m - 3 > 0\)

\(m > \frac{3}{4}\).

Vậy với \(m > \frac{3}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Với \(m > \frac{3}{4}\), theo định li Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m + 4\);

\(x_{1} x_{2} = m^{2} + 7\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} - 12 = 0\)

\(\left(\left(\right. 2 m + 4 \left.\right)\right)^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) - 12 = 0\)

\(4 m^{2} + 16 m + 16 - 3 m^{2} - 21 - 12 = 0\)

\(m^{2} + 16 m - 17 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 1 + 16 - 17 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m = 1\) (tm); \(m = \frac{c}{a} = - 17\) (ktm).

Vậy \(m = 1\).

Xét phương trình \(x^{2} - 6 x + m + 4 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).

a) Khi \(m = 1\), ta có \(x^{2} - 6 x + 1 + 4 = 0\)

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0\)

Vì \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 6 \left.\right) + 5 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = \frac{c}{a} = 5\).

Vậy \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm là \(x_{1} = 1 ; x_{2} = 5\).

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 \left(\right. m + 4 \left.\right) > 0\)

\(9 - m - 4 > 0\)

\(- m > - 5\)

\(m < 5\).

Khi đó theo hệ thức Viète, ta có \(x_{1} + x_{2} = 6 ; x_{1} x_{2} = m + 4\).

Theo bài ra: \(2 020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 021 x_{1} x_{2} = 2 014\)

\(2 020.6 - 2 021. \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2 014\)

\(12 120 - 2 021 m - 8 084 = 2 014\)

\(- 2 021 m = - 2 022\)

\(m = \frac{2 022}{2 021}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{2 022}{2 021}\) là giá trị cần tìm.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) ta có:

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} + 2 = 0\)

\(x^{2} - 4 x + 3 = 0\)

Phương trình có: \(a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = \frac{c}{a} = 3.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left{\right. 1 ; 3 \left.\right}\).

b) Xét phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 2 = 0\) (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) > 0\)

\(m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 > 0\)

\(2 m - 1 > 0\)

\(m > \frac{1}{2}\)

Với \(m > \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2} + 2\).

Theo đề bài ta có: \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

\(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 = 12 m + 2\)

\(3 m^{2} - 4 m = 0\)

\(m \left(\right. 3 m - 4 \left.\right) = 0\)

\(m = 0\) (ktm); \(m = \frac{4}{3}\) (tm).

Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là thỏa mãn bài toán.

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành \(x^{2} - 4 x + 1 = 0\).

Ta có \(\Delta^{'} = 2^{2} - 1 = 3 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{\Delta^{'}}}{a} = 2 + \sqrt{3}\);

\(x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{\Delta^{'}}}{a} = 2 - \sqrt{3}\).

Vậy khi \(m = 1\) thì nghiệm của phương trình là \(x_{1} = 2 + \sqrt{3} ;\) \(x_{2} = 2 - \sqrt{3}\).

b) Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - m^{2} = 2 m + 1\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(2 m + 1 \geq 0\)

\(m \geq - \frac{1}{2}\).

Khi đó áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2}\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} + 6 = 0\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 6 m^{2} + 6 = 0\)

\(- 2 m^{2} + 8 m + 10 = 0\) (1)

Ta có \(a - b + c = - 2 - 8 + 10 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m_{1} = - 1\) (ktm); \(m_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{10}{- 2} = 5\) (tm).

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(m = 5\).

a) Giải phương trình (1) với \(m = - 3\).

Khi \(m = - 3\) phương trình (1) trở thành: \(x^{2} + x - 2 = 0\).

Vì \(1 + 1 + \left(\right. - 2 \left.\right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = - 2\)

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

Ta có: \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} + 4 m + 4 - 4 m - 4 = m^{2} \geq 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).

c) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Theo câu b ta có: \(\Delta = m^{2}\)

Phương trình (1) có có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khi

\(\left{\right. & \Delta > 0 \\ & x_{1} + x_{2} > 0 \\ & x_{1} . x_{2} > 0\)

\(\left{\right. & m^{2} > 0 \\ & m + 2 > 0 \\ & m + 1 > 0\)

\(\left{\right. & m \neq 0 \\ & m > - 1\)

Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\) nên áp dụng hệ thức \(\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}\) ta có:

\(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{\left(\right. \frac{2}{\sqrt{5}} \left.\right)^{2}}\)

\(\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{5}{4}\)

\(4 \left[\right. \left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. = 5 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2}\)

\(\&\text{nbsp}; 4 \left[\right. \left(\left(\right. m + 2 \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right. = 5 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

\(m = 1 ; m = - 3\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.